原式=∫e^(-x^2)dx
=∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy
=∫∫e^(-r^2) rdrdα
=(∫e^(-r^2) rdr)*(∫dα)
=π*∫e^(-r^2) dr^2
=π*(1-e^(-r^2) |r->+∝
=π
解释
根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
例如三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx。
通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识,介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤。
设√(x+2)=t,则x=(t^2-2),代入得:
∫x√(x+2)dx
=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),
=2∫t^2*(t^2-2)dt,
=2∫(t^4-2t^2)dt,
=2/5*t^5-4/3*t^3+C,
=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,
∫x√(x+2)dx
=∫x√(x+2)d(x+2),
=2/3∫xd(x+2)^(3/2),
=2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,
=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),
=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,
A=∫x√(x+2)dx,
=(1/2)∫√(x+2)dx^2,
=(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),
=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,
=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,
=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),
即:(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),
A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),
A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
不定积分的计算
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。