水平传动的皮带问题

Question

皮带以速度v顺时针匀速转动，皮带长度为L，物体与皮带的动摩擦因数为μ，
（1）若物体从左侧以速度v0滑上皮带，讨论v0<v和v0≥v两种情况下物体在皮带上运动的时间；
（2）若物体从右侧以速度v0滑上皮带，讨论v0<v和v0≥v两种情况下物体在皮带上运动的时间；

Answer 1

（1）（a) v0<v
物体增速过程，物体速度由v0增加到V，然后以速度V进行运动
f=μG=μmg,加速度a=f/m=μg

增速到速度V过程中，走过的路程S=(V^2-V0^2)/2μg，经过的时间t1=(v-v0)/2μg

剩下的时间t2=(L-S)/V=(2μgL-V^2+V0^2)/2μgV

总时间t=t1+t2=(v-v0)/2μg+(2μgL-V^2+V0^2)/2μgV=L/V-V0/2μg+V0^2/2μgV
(b)v0≥v

物体减速过程，物体速度由v0减少到V，然后以速度V进行运动
计算过程同上，总时间t1=(v0-v)/2μg,t2=(2μgL-V0^2+V^2)/2μgV
t=t1+t2=L/V+V0/2μg-V0^2/2μgV
（a与b两种情况仅速度相减处不同。都是速度大的减速度小的。）
（2）如果从右侧上皮带，即V与V0方向相反，那么V0与V的速度大小与结果没有丝毫影响。因此下面不考虑V0与V的大小
1.物体速度由V0减少到0的过程经过的路程S1=V0^2/2μg ，经过的时间为t1=v0/2μg
2.物体速度由0增加到V的过程经过的路程S2=V^2/2μg ，经过的时间为t2=v/2μg
3.物体以匀速V过程经过的路程 S3=L-S1-S2 ，经过的时间为t3=S3/V=(2μgL-V0^2-V^2)/2μgV
总时间为t=t1+t2+t3=v0/2μg+v/2μg+(2μgL-V0^2-V^2)/2μgV=L/V+V0/2μg-V0^2/2μgV
综上计算情况的前提是
情况（1）的条件是L>=S
情况（2）的条件是L>=S1+S2