1、平行四边形对边平行
证明：平行四边的对边无线延长，如下图红线所示，两条延长线永远不会相交，所以“平行四边形对边平行”。
2、平行四边形对边长度相等
证明：如下图所示，为两条平行四边形的边延长线，结合第一步的图，可知两两对边是永远平行，不会相交的，正面对边之间的距离是一样的，所以“平行四边形对边长度相等”。
3、平行四边形对角角度相等
证明：如下图所示，复制一个平行四边形，将其平移，两个角加起来是180度。
翻转其他角度会发现平行四边形只有两个角度，一个大于90度，一个小于90度，而且两个相加都等于180度，所以“平行四边形对角角度相等”，
4、平行四边形对角线互相平分
证明：如下图红线所示，为平行四边形的对角线，由于平行四边的对边平行且长度相等，对角相等。
所以两条对角线的角度是平分的，可知平分出来的四个三角形，两两相等，由此可知边长相等，所以“平行四边形对角线互相平分”。
【一步步推】设四边形ABCD是平行四边形。
①【平行四边形对边平行】
这是平行四边形的定义，不用证明。
②【平行四边形对角相等】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AD//BC（平行四边形定义）
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°；
∠A+∠B=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A=∠C，∠B=∠D（等量代换）
③【平行四边形对边相等】
证明：
连接AC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AB//DC（平行四边形定义）
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC（两直线平行，内错角相等）
又∵AC=CA（公共边）
∴△ABC≌△CDA（ASA）
∴AB=CD，AD=BC（全等三角形对应边相等）
④【平行四边形对角线互相平分】
连接AC、BD交于O。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO（两直线平行，内错角相等）
又∵AD=BC（③已证）
∴△AOD≌△COB（ASA）
∴OA=OC，OB=OD（全等三角形对应边相等）
