龟兔赛跑：兔子永远追不上乌龟。如何从理论上说明它是错的？

Question

问题：乌龟和兔子相距100米，乌龟在前兔子在后，兔子奔跑速度是乌龟的10倍。它们同时起跑，兔子永远追不上乌龟。为什么呢？当兔子跑完这100米时，乌龟同时向前爬了10米；当兔子跑完这10米时，乌龟同时又向前爬了1米；当兔子跑完这1米时，乌龟同时又向前爬了10厘米；……。因此，兔子永远追不上乌龟。
在实际生活中，运动快的物体尽管是在后面，它迟早会跑到运动慢的物体的前面去的。显而易见，这个问题的结论是错的。但是，如何从理论上说明它是错的呢？
基本意思说出来了，可否再说详细一点？
兔子追赶乌龟的时间：T=T0*(1+1/10+1/10[2]+……+1/10[n]+……)，其中，(1+1/10+1/10[2]+……+1/10[n]+……)是一个有界无限级数之和，也就是说是一个收敛的无限级数之和，因而就有个极大值，你说是不是？
10的n次方在此无法表达，只好用方括号括起来表示，即：10[n]表示10的n次方。

Answer 1

按常识，10/9分种后兔子将追上乌龟，也就是兔子与乌龟处于同一位置了。
那么题目里的分析是怎么回事？
10/9分钟前，兔子确实一直落后于乌龟，题目的分析不过是这样的：
过1分钟说，兔子还在乌龟后面；
再过0.1分钟说，兔子还在乌龟后面；
再过0.01分钟说，兔子还在乌龟后面；
....
再过0.000000001分钟说，兔子还在乌龟后面；
如此可以无限下去.因此似乎兔子永远追不上乌龟。
但是，实际上，上面的所有追问全发生在10/9分种之内的，只不过是，把10/9分种的时间无限细分了，每过一个小的时间间隔，就确定一次兔子还在乌龟后面。10/9分种的时间可以分成无限段，也就是你可以无限次的确定“兔子还在乌龟后面”，但时间的总的长度是有限的。一次一次的确定“兔子还在乌龟后面”，相隔时间愈来愈短，以至一会儿的时间，无限次的追问就过去了。
错觉在于，似乎问一次需要一段时间，问无限次就可以把时间延长到无限（因此似乎兔子永远追不上乌龟）。但实际上，这里的无限个时间间隔之和是个常数，这就是数学里面的收敛级数，无限项正常数之和是个有限数，如：1/2+1/4+1/8+...+1/2^N+...=1.

Answer 2

我们从日常经验当中想当然地以为,无数段时间加起来，这时间将是遥遥无期的。其实从中学学过的等比数列就可以知道，无数段时间的总和可能永远也超过不了某一个定值，比如1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 。。。永远不会超过2，这道加法中，加数的个数是无限的，总和却是有限的。这打破了我们的日常经验，说明局限性经验对解释更高一层的科学问题是无能为力的，反而会越解释越乱。科学每达到一个更高一层，都要重新审视原来的观念是不是应该纠正。比如相对论就让我们重新审视速度与时间的关系不是简单的乘法。

我们假设兔子的速度为V1，乌龟的速度为V2，那么，经过时间T以后，
兔子跑的距离是S1=V1*T
乌龟跑的距离为S2=V2*T
∵V1>>V2
∴S1>>S2
只要时间T足够，就有可能S1>S'+S2。
兔子跑的比乌龟快，绝对会追上的。
原题的错误在于将时间的区间越取越小，而不知时间永远是个自变量。
通俗地讲一下, 假使兔子10米每秒,乌龟1米每秒,相距9米,按照传统的算法,t=9/(10-1)=1秒,按照你的算法,t=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+......=0.99999...
学了极限就知道,这两者是相等的
事实上兔子会追上乌龟,需要时间1秒,但你的这种考虑方法把1秒进行了无限分割,造成了无法追上的假象.

Answer 3

因为公比是1/10，所以这就是用公式首相除以（1-公比）即可算出100+10+1+...的值

Answer 4

此无穷级数收敛

Answer 5

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