不定积分化简？

Question

t=√[(1+x)/x]
-2t-2ln|(t-1)/(t+1)|+c=-2√[(1+x)/x]-2ln[√[(1+x)/x]+1]+ln|x|+c
ln是怎么化简出来这样的/////

Answer 1

学过微积分的人都知道，不定积分是整个微积分里面，技巧最丰富，也是最难得掌握的部分。它的基本方法只有两个，分部积分法与换元法（第一与第二换元法，原理是一样的），但是就这两个方法，所衍生出来的变化几乎可以说是无穷无尽的。每一个具体的不定积分都有它特定的技巧。现在我们先来看看，求不定积分的一般原则。后续的文章里，我会详细讲解，哪种被积函数采取哪种积分技巧。

原则一：尽量简化被积函数。利用代数变形或者三角函数恒等式将被积函数化简，从而将被积函数化成可以直接积分的形式。例如，
∫
(
1
−
x
x
)
2
d
x
=
∫
(
1
x
2
−
2
x
+
1
)
d
x
∫(1−xx)2dx=∫(1x2−2x+1)dx

∫
(
sin
x
+
cos
x
)
2
d
x
=
∫
(
sin
2
x
+
2
sin
x
cos
x
+
cos
2
x
)
d
x
=
∫
(
1
+
sin
2
x
)
d
x
∫(sin⁡x+cos⁡x)2dx=∫(sin2⁡x+2sin⁡xcos⁡x+cos2⁡x)dx=∫(1+sin⁡2x)dx

∫
cot
2
x
d
x
=
∫
(
csc
2
x
−
1
)
d
x
∫cot2⁡xdx=∫(csc2⁡x−1)dx

可以看到，化简后，这几个积分就可以直接利用积分公式了。

原则二：先试试能不能凑微分；例如积分
∫
x
√
1
−
x
2
d
x
∫x1−x2dx

虽然可以利用三角代换
x
=
sin
t
x=sin⁡t 来化简，但事实上，我们用凑微分
u
=
1
−
x
2
,
x
d
x
=
−
1
2
d
u
u=1−x2,xdx=−12du 来计算，显然快捷得多。

原则三：给被积函数分类，根据不同的类型选取不同的积分方法。如果化简不能直接给出积分，又不能凑微分，那么就应该寻求变量代换，或者使用用分部积分法。一般说来，有以下几种大的类型：

如果被积函数是幂函数与三角函数、指数函数的积，那么使用分部积分法，令幂函数为
u
u，其它函数为
v
′
v′
如果被积函数是幂函数与反三角函数、对数函数的积，使用分部积分法，令其它函数为
u
u , 幂函数为
v
′
v′；
如果被积函数是三角函数与指数函数的积，则使用回复积分法。就用多次使用分部积分，使被积函数回到原来被积函数的形式上去，从而可以利用代数方法求出积分；
如果被积函数是三角函数的复合函数，则利用三角函数的积分方法。例如三角函数恒等代换，回复积分，变量代换等等。这部分我们以后详细说明；
如果被积函数是有理分式，则先分解有理分式为简单分式之和，再对各分式求积分；

Answer 2

换元。这一步是把原来的元带回去。