matlab里FFT变换后的幅度值为什么偏小？

Question

Fs = 1000; % Sampling frequency
T = 1/Fs; % Sampling period
L0 = 1500; % Length
t = (0:L0)*T; % Time vector
L = length(t); % Length of signal
S = sin(2*pi*120*t); %signal
f = linspace(0,Fs,length(S))-Fs/2;
P = 2*abs(fftshift(fft(S/L)));
plot(f,P);
title('Double-Sided Amplitude Spectrum of S(t)');
xlabel('f (Hz)');
ylabel('|P1(f)|');
如上程序，信号S的幅度值为1，FFT变换后取模值得到的P的最大值也应当为1但是为什么是0.976122，比1小？如第一张图所示。
有人说是因为FFT变换时补0造成的，但是如果将第三行t = (0:L0)*T; 改成“t = (0:L0-1)*T; ”信号长度减1为什么反而FFT变换后的幅值就等于于1了？如第二张图所示

Answer 1

在MATLAB中，对一个信号进行FFT变换后得到的频率幅度谱的值一般是不进行归一化的。因此，得到的频率幅度谱的值通常会很小，这就需要我们进行一些处理才能得到更合适的结果。
具体而言，可能会出现以下几个原因导致幅度值偏小：
1. 数值范围问题：由于FFT计算的结果可能会超出数值范围，因此需要在计算前确保使用足够宽的数据类型（例如使用double类型）。
2. 信号长度问题：在对信号进行FFT变换时，信号长度也会影响幅度值。一般来说，信号长度需要满足一定要求才能得到良好的结果。
3. 归一化问题：如果对频率幅度谱进行归一化，可能会得到更合适的结果。例如可以通过将频率幅度谱除以信号长度作为归一化因子，从而消除由信号长度带来的影响。
4. 处理方法问题：有些处理方法可能会导致得到的结果偏小，例如窗函数等。在使用这些方法时需要注意结果是否受到了不必要的影响。
除此之外，还有一些可能的原因，例如使用不同的FFT库、数据长度等。因此，对幅度值偏小问题需要具体问题具体分析，找到问题出现的原因并针对性地解决。

Answer 2

在使用FFT进行频谱分析时，补零操作实际上会让FFT输出的结果更加精细（即频率分辨率更高），但是不会对信号的幅度谱产生影响。因此，补零操作不应该导致最大值小于1。
有可能产生这种情况的原因是在计算变换后的幅度时，没有将FFT输出结果除以信号长度L，也就是P = 2*abs(fftshift(fft(S/L)))中的(L)部分，导致最大值小于1。正确计算方法应该是P = abs(fftshift(fft(S)))/L，即将FFT输出结果除以信号长度。
至于为什么当信号长度减1时最大值等于1，可能是因为删除了一个采样点，造成的少量信息丢失对结果影响较小，使得输出结果更接近理论值1。但需要注意，这个数据点的删减仅会对频率分辨率产生影响，而不应该导致信号幅度出现明显变化。

Answer 3

在数字信号处理中，离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）是近似计算，存在数值误差。这些误差可能会导致计算结果与理论值略有不同。
在你的代码中，你通过fft函数对信号S进行了FFT变换，并计算了其幅度谱P。理论上，如果信号S的幅度值为1，那么经过FFT变换后的幅度谱P的最大值也应该是1。
然而，由于计算机内部的有限精度表示，以及FFT算法本身的数值误差，实际上得到的结果可能会有一些微小的误差。这可能导致幅度谱P的最大值略小于1，例如你提到的0.976122。
通常情况下，这样的数值误差是可以接受的，并且可以通过增加采样点数或使用更高精度的数据类型来减小误差。此外，你的代码中使用了归一化的FFT（除以信号长度L），这可能会对结果产生一些影响。
如果你需要更高的精确度，你可以尝试使用更长的信号长度L，或者使用其他精确度更高的算法来计算FFT。另外，你还可以考虑使用信号处理工具包中提供的函数，这些函数经过了优化和校准，可以提供更准确的结果。