矩阵行列式等于其特征值乘积证明，详细过程，方法越多越好

Question

如题所述

Answer 1

特征行列式：

|λI-A|=(λ-k1)(λ-k2)...(λ-kn)

其中k1,k2,...,kn是n个特征值

令上式中的λ=0，得到

|-A|=(0-k1)(0-k2)...(0-kn)

即(-1)^n|A|=(-1)^nk1k2...kn

则|A|=k1k2...kn

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

Answer 2

特征行列式：
|λI-A|=(λ-k1)(λ-k2)...(λ-kn)
其中k1,k2,...,kn是n个特征值令上式中的λ=0，得到
|-A|=(0-k1)(0-k2)...(0-kn)
即(-1)^n|A|=(-1)^nk1k2...kn
则|A|=k1k2...kn
扩展资料：
矩阵行列式的相关定理
定理1 设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)。
证 对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：
det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)，
由于Mij均为k×k矩阵，由归纳假设有
det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1
此式右端恰是det(AT)按照AT的第一列的余子式展开。因此det(A)=det(An)
参考资料来源：搜狗百科--韦达定理
参考资料来源：搜狗百科--矩阵行列式

Answer 3

特征行列式：
|λI-A|=(λ-k1)(λ-k2)...(λ-kn)
其中k1,k2,...,kn是n个特征值
令上式中的λ=0，得到
|-A|=(0-k1)(0-k2)...(0-kn)
即(-1)^n|A|=(-1)^nk1k2...kn
则|A|=k1k2...kn