非线性规划问题

Question

如题所述

Answer 1

在优化问题中，把目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数的数学规划问题称为非线性规划。

4.2.1.1 等式约束的非线性规划

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

式中：x={x₁，x₂，…，x_n}^T。将m个约束方程分别乘以λ₁、λ₂、…、λ_m，然后把它们加到目标函数中得到：

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

这种形式的目标函数称为拉格朗日函数，并用L表示，如果把L看作为带有m+n个变量的目标函数，并令L对m+n个变量的导数等于零，得到：

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

联立解m+n个方程即得到所求的解。这样，有约束的问题（4.7）式转化为无约束问题，然后利用无约束最优化方法，对函数L求极小值，即得原问题最优解。

4.2.1.2 不等式约束的非线性规划

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

在约束条件中加入非负松弛变量，将不等式约束变换成等式约束。则问题变为：

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式中：y=［y₁，y₂，…，y_m］^T是松弛变量向量。该问题可方便地利用拉格朗日乘子法求解。为此，构造拉格朗日函数L为：

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式中λ=［λ₁，λ₂，…，λ_m］^T为拉格朗日乘子向量。拉格朗日函数驻点可由下列方程（必要条件）求解得到：

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

式（4.15）保证了约束g_j（x）≤0（j=1，2，…，m），而式（4.16）表明λ_j=0或者y_j=0。若λ_j=0，意味着该约束不起作用（g_j＜0），故可略去；若y_j=0，则表明该约束在最优点是起作用的（g_j=0）。考虑把约束分为两个集J₁和J₂，J₁+J₂表示约束全集。设集合J₁表示在最优点起作用约束的集合，集合J₂为全部不起作用约束集合。

这样，对于j∈J₁，y_j=0（约束起作用），而对于j∈J₂，λ_j=0（约束不起作用）。此时，式（4.14）可简化为：

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

类似地，式（4.15）可写为：

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

此外还可证明，在求问题极小值时，λ_j（j∈J₁）必为正，相反，对于极大值问题，λ_j（j∈J₁）必为负。