证明离差平方和分解公式如下：
一、总离差平方和与组内离差平方和的定义。
总离差平方和(总变差的平方和)是所有数据距离其算术平均值的离差的平方和，表示了所有数据相对于其平均值的离散程度。
组内离差平方和(组内变差的平方和)是每组内数据距离该组均值的离差的平方和，表示了同一组内数据相对于该组均值的离散程度。
二、总离差平方和分解成组内离差平方和和组间离差平方和的公式
根据以上定义，可以得到总离差平方和T的表示公式：
T=(x1-x)^2+(x2-x)^2+...+(xn-x)2
其中，x为所有数据的平均值，x1~xn为每个数据点。将总离差平方和T展开：
T=(x1^2-2xlx+x^2)+(x2^2-2x2x+x^2)+...+(xn2-2xnx+x^2)(1)
再把每个数据点拆分成对应组均值与组内离差：xl=gl+d1，其中g表示组均值，d表示组内离差，同理可得x2,x3,...,xn。将公式(1)中每个数据点代入，并收集同一组内的离差平方：
T=[(d1)^2+(d2)^2+...+(dk)^2]+[(d(k+1))^2+...+(dm)^2]+...+[(dn)^2+(d(n-1))^2+...+(d(m+1))^2]+[(g1-x)^2+(g2-x)^2+...+(gm-x)^2+...+(gl-x)^2]。
其中，k、m、n、1为不同的分组数。
第一项为组内离差的平方和SSw，:表示了同一组内数据相对于该组均值的离散程度。最后一项为组间离差的平方和SSb，表示了不同组均值之间的距离。结合以上公式，可得总离差平方和分解成组内离差平方和和组间离差平方和的公式为：
T=SSw+SSb(2)，其中，SSw和SSb分别为组内离差平方和和组间离差平方和。
三、总离差平方和分解公式的应用
总离差平方和分解公式是ANOVA分析的基础，它将总离差平方和分解成组内离差平方和和组间离差平方和，从而进行一系列假设检验、方差分析等等。
例如，在两组之间比较平均差异时，我们可以用总离差平方和分解公式将数据分为两组，然后分别计算两组的离差平方和，从而得到组内离差平方和和组间离差平方和，进一步进行方差分析和检验等统计方法。
同时，总离差平方和分解公式也可以用于检测变量之间的相关性。例如，在多元回归分析中，我们可以将变量总和的平方和分解成解释变量的平方和和残差的平方和，用以判断解释变量对总和的解释程度。
总之，总离差平方和分解公式是统计学应用广泛的基本公式，掌握其原理和应用方法，对于深入理解ANOVA分析和多元回归分析等数据分析方法具有重要意义。