声波的多普勒效应及其公式
以人耳在空气中听到声源发出的声波作为讨论基础。由此得到的结果,适于所有的经典力学中的机械波。设空气中的声源振动频率为fs,空气中的声波速度为c,人耳听到声波频率fr,与人和声源相对空气的运动方式,运动速度均有关。假设人和声源的运动沿着二者连线,相对于空气的速度分别为vr,vs;声源的振动频率fs和声速c分别由声援和介质所决定,可以认为是不变量。vr,vs是相互独立的变量,fs与fr将随着vr,vs发生改变;fs与fr的差异表现为多普勒效应现象。
第一种情况:声源静止,人相对于声源以速度vr 运动。此时空气中的波长λ理解为声波中,2相邻波峰之间的距离,为不变量。对于波源,按照波速公式:
c = fs λ <1>
声源相对于人的传播速度为c±vr,人耳听到的声波频率fr符合
c±vr = fr λ <2>
式中加号表示人靠近声源,减号表示人远离声源。联立上面2式,得:
表明,当人靠近声源时,听到的声波频率增大;远离声源时,听到的声波频率减小。
第二种情况:人静止,声源相对于人以速度vs运动。此时空气中的波长将会发生改变,沿着声源的运动方向,在声源前面,波面变得密集,波长变短;在声源后面,声波的波面变得稀疏,波长变长:
声波从波源发出后,在空气中独立地传播,其传播速度c与声源无关。因为人静止在空气中,所以声波相对于人的传播速度仍为c,而人听到的声波频率则因波长变化而变为fr,符合波速公式:
联立上面2式得:
式中减号表示声源靠近人运动,加号表示声源远离人运动。
表明,当声源靠近人时,听到的声波频率增大,远离人时,听到的声波频率减小。
,减号表示声源靠近人,加号表示声源远离人。声波从声源发出后,波速不变仍为c,但是由于人相对于声源靠近或者远离,声源相对于人的传播速度如<4>所示为,加号表示人靠近波源,减号表示远离波源。从上面2式中消去λ″:
表示在一般情况下,空气中声波的多普勒效应公式。<3>和<6>是一般公式<7>的特例。
从公式中可知,人和波源相对静止时(人与波源同向同速运动,公式中分子分母取同样符号),人听到的声波频率与声源频率相同。人与声源相对运动时,人听到的声源频率将要发生变化:相对靠近时,听到的声波频率升高,相对远离时,频率降低。
多普勒效应公式的使用条件是,声源相对空气的速度比空气中的声速足够小。当声源速度与声速接近时,必须对公式加以修正;而当声源速度大于声速时,多普勒效应公式失效。
多普勒效应公式的建立,根据是波速公式。在波速公式中各量都与测量有关,并且由测量所确定。因此对同一列机械波,不同观测者测出的结果不同。值得注意的是,这种差异绝非测量误差造成,而是具有更深刻的物理背景。
经典物理学旨在描述物理现象,概括经验事实,归纳实验结果,从而试图找出相应的物理规律。因此经典物理学很大程度上是一种“唯象”的理论体系,它不回答诸如“本质如何”之类的形而上问题,而是像多普勒效应公式的建立那样,只对人耳听到的声波频率做出合乎逻辑的自圆其说。