几道数学题目（数列）

Question

1.等比数列｛an｝中，a1+a2+a3+a4+a5=3，a1^2+a2^2+a3^2+a4^2+a5^2=12,z则a1-a2+a3-a4+a5=----------。

2.已知数列｛an｝满足an+2Sn*Sn-1=0，a1=1/2。

（1）求证：｛1/Sn｝是等差数列。

（2）求：an的表达式。（分段表示）

（3）若bn=2(1-n)*an(n>=2)时，求证：b1^2+b2^2+···+bn^2<1。

【只需（2）（3）的解答过程】

3.设数列｛an｝的前n项积为Tn,且Tn=1-an，数列｛bn｝前n项和为Sn，且Sn=1-bn

（1）设Cn=1/Tn，求证：数列｛Cn｝是等差数列。

（2）求：｛an｝的通项公式。

（3）若Tn(n(bn)+n-2)<=kn对n属于N*恒成立，求：实数k的取值范围。

【只需（2）（3）的解答过程】

Answer 1

1、(a1+a2+a3+a4+a5)(a1-a2+a3-a4+a5)
=a1^2-a2^2+a3^2-a4^2+a5^2+(-a1a2+a1a3-a1a4+a1a5+a2a1+a2a3-a2a4+a2a5+a3a1-a3a2-a3a4+a3a5+a4a1-a4a2+a4a3+a4a5+a5a1-a5a2+a5a3-a5a4)
=a1^2-a2^2+a3^2-a4^2+a5^2+(2a1a3+2a1a5-2a2a4+2a3a5)
由于{an}为等比数列，则aiaj=aman，当i+j=m+n时。
所以，对上式，a1a3=a2^2，a1a5=a2a4=a3^2，a3a5=a4a^2
则上式=a1^2+(-a2^2+2a1a3)+(a3^2+2a1a5-2a2a4)+(-a4^2+2a3a5)+a5^2
=a1^2+a2^2+a3^2+a4^2+a5^2
=12
所以，(a1-a2+a3-a4+a5)
=(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2+a5^2)/(a1+a2+a3+a4+a5)
=12/3=4

2、（1）a(n)=S(n)-S(n-1)，n≥2
则S(n)-S(n-1)+2S(n)S(n-1)=0，n≥2
两边同除以S(n)S(n-1)得：1/S(n-1)-1/S(n)+2=0
所以得：1/S(n)-1/S(n-1)=2，n≥2；并且S(1)=a(1)=1/2，1/S(1)=2
即{1/S(n)}是公差为2的等差数列。
（2）等差数列{1/S(n)}以2为首项，2为公差，
则其通项为1/S(n)=2+2(n-1)=2n
所以S(n)=1/(2n)，S(n-1)=1/[2(n-1)]，
则a(n)=1/(2n)-1/[2(n-1)]，n≥2
故a(n)=1/2，当n=1；a(n)=1/(2n)-1/[2(n-1)]，当n≥2
（3）（取b(1)=2×0×a(1)=0)
n≥2时，b(n)=2(1-n)a(n)=(1-n)/n+1=1/n
则b1^2+b2^2+···+bn^2
=0+(1/2)^2+(1/3)^2+…+(1/n)^2
＜0+1×(1/2)+(1/2)×(1/3)+…+1/(n-1)×1/n
=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+…+1/(1-n)-1/n
=1-1/n
＜1

3、（1）n=1时，a(1)=T(1)=1/2，(又a(2)=2/3，T(2)=1/3)
n≥2时，T(n)=T(n-1)a(n)=1-a(n)
则T(n-1)=[1-a(n)]/a(n)=T(n)/a(n)=T(n)/[1-T(n)]
所以1/T(n-1)=[1-T(n)]/T(n)=1/T(n)-1
1/T(n)-1/T(n-1)=1，n≥2，且1/T(1)=2
所以，{1/T(n)}是首项为2，公差为1的等差数列。
（2）由（1）有1/T(n)=2+1(n-1)=n+1
则T(n)=1/(n+1)
所以当n≥2时，a(n)=T(n)/T(n-1)=1/(n+1)÷1/n
显然，n=1时a(1)=1/2也符合上式，
故a(n)=n/(n+1)
（3）对于b(n)，有
b(1)=S(1)=1-b(1)，b(1)=1/2
b(2)+b(1)=S(2)=1-b(2)，b(2)=1/4
b(3)+b(2)+b(1)=S(3)=1-b(3)，b(3)=1/8
猜想b(n)=1/(2^n)
以下用数学归纳法作简要证明：n=1时，上述已证成立；假设n=k时成立，则n=k+1时，
S(k+1)=S(k)+b(k+1)=1-1/(2^k)+1/[2^(k+1)]=1-1/[2^(k+1)]=1-b(k+1)
所以猜想成立，即b(n)=1/(2^n)
此时，
T(n)[nb(n)+n-2]
=1/(n+1)[n/(2^n)+n-2]
=n/[(n+1)(2^n)]+(n-2)/(n+1)＜1+1=2
即左边的值恒小于2
从整个不等式看，
k≥T(n)b(n)+T(n)(n-2)/n
=1/[(n+1)(2^n)]+(n-2)/[n(n+1)]
……
（不会解，可能到后面方法错了）
打字很辛苦的，求追加分数，嘿嘿