概率题 掷骰子 几何分布相关

Question

事件A = 掷普通的6面骰子，直到第n次才掷出第1个“6”。则事件A的期望是6，方差为（1-q）/q*q = 30.
（1）设事件B = 直到第n次才掷出第2个“6”。求他的期望和方差。
（2）然后再把事件B看作是两个事件A，再求一次期望和方差。

我知道事件B的期望是12，用两种方法算出来都是12，但是方差我总是算错，不知道是不是我的算法是错的。
他们的关系，我猜是不是E（2X）= 2E(X) = 12 ；
D（2X） = 4D（X） = 120呀？但是我不知道D（2X）的意义是什么，这么想对不对……

总之满分求两种算法算方差的过程和结果，注意一定要用两种不同的方法，要完整推导过程。

呃，不会做就不用留言了，没有满意答案我会关闭问题，不会随便发分的。
@espgnw 原来叫负二项分布呀！我还当几何分布的变形，拼命的算呢，惭愧。
我搜索“负二项分布”，得到了很多非常有用的信息！
你的证明过程中有些公式我现在看不懂，明天我去图书馆查一下负二项分布的内容后再看吧。
另外想问一下这个是一般本科生学的概率论的内容吗？我们学校的教材里没有这个内容。

谢谢回答的几位，但是都没有“两种不同方法，完整推导过程”。
给我最大帮助的是espgnw同学说出的“负二项分布”这个关键词，所以分给他。espgnw同学，谢谢你。

这里贴出我的两种推导过程，以后如果有人搜到这个问题，也好给他些帮助。
https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/kira0001/pic/item/573c9a6dc66345bb421694c8.jpg
顺便说一下，期望和方差应该分别是12和60。

Answer 1

我觉得，Y看成两个X之和，不是简单的Y = 2X．
而是应该把Y看成两个与X同分布的、但是又独立的两个随机变量X1和X2之和．
那么，对独立的情况就有
D(Y) = D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2) = 2 D(X) = 2*30 = 60。
于是就能说明两种算法是一样的．

这样独立性的解释，类似于n阶Bernoulli可看成n个独立的服从0-1分布的随机变量的和那样.

至于期望，有E(Y) = E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2) = 2 E(X)，总是不成问题的，不管X1和X2是否独立．

不知这个答案你是否满意？

Answer 2

E(2X)=2E(X)=2*6=12 是对的！这个本来就是公式！
小小推导一下：
E（2X）=E（X）+E（X）=2E（X）

D(X)=E[X-E(X)]^2
=E{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2}
=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2
=E(X^2)-[E(X)]^2
方差其实就是标准差的平方。

所以，
D（2X）
=E[(2X)^2] -[E(2X)]^2
=E(4X^2) -[E(2X)]^2
=4E(X^2) -4E(X)^2
=4[E（X^2) -E(X)^2]
=4D(X)
=4*30
=120

这样能理解了么？
虽然问的不是我！但我答一下你的补充问题：
大学本科生，要看专业才知道修什么内容了
我是数学专业的！
我修的是《概率与统计》
听说其他理工科分数学专业的（比如计算机，模具什么的）修的是《高等数学》和《离散数学》，里面都有提到概率论的知识
会计专业还会修《数据分析》

Answer 3

国内本科《概率论与数理统计》离散分布讲的不多，但美国高中就学了。。。
几何分布是负2项分布r=1时的特殊情况。
下面这个网址是美国AP statistics考试辅导，里面介绍了很多离散分布和实用的知识，偏重应用，有兴趣可以看一下
http://stattrek.com/Lesson1/Statistics-Intro.aspx?Tutorial=Stat

-------------------------------------
说明：事件A属于 “m = n-1次失败，第n次成功”的情况，
一般计算期望用E (m)=(1-p)/p，
但这里要求用 E（n）=1/p这种形式，
那么负二项的均值就不能套用书本上E（m）的公式了，
我不知道负二项中E(n)能不能转化为E(n)=E(m)+r，没找到相应推导过程，
E（n）计算仅供参考。
但是方差是正确的，没问题。

解：
A：几何分布，p=1/6,
E(m)=(1-p)/p, E（n）=1/p=6 , D(m)=D(n)=(1-p)/p^2=30

B（1）：负二项分布（帕斯卡）,p=1/6, r=2,
E(m)=r(1-p)/p=10，E（n）=E(m)+ r =12, D（m)=D(n)=r(1-p)/p^2=60

B（2）：没读懂题， 如果问把B（2）看作A+A 且2个A相互独立，
那么 E(2x)=2E(x)=12
D(2x)=4D(x)=120本回答被提问者采纳

Answer 4

E(2X)=2E(X)=2*6=12 是对的！这个本来就是公式！!!!!!!
D(X)=E[X-E(X)]^2
=E{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2}
=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2
=E(X^2)-[E(X)]^2
方差其实就是标准差的平方。

所以，
D（2X）
=E[(2X)^2] -[E(2X)]^2
=E(4X^2) -[E(2X)]^2
=4E(X^2) -4E(X)^2
=4[E（X^2) -E(X)^2]
=4D(X)
=4*30
=120