设3阶矩阵A=(a1,a2,a3)有3个不同的特征值,且a3=a1+2a2

Question

题目:设3阶矩阵A=(a1,a2,a3)有3个不同的特征值,且a3=a1+2a2
为什么特征值不同，向量间还能线性相关呢？

Answer 1

pb+qAb+rA^2b=0,将b=a1+a2+a3。

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵

Answer 2

注意这里说的只是三阶矩阵
而不是常出现的对称方阵
对于对称方阵来说
不同特征值对应的特征向量
一定是线性无关的
而这里不是对称方阵，不一定有这样的性质
所以a3=a1+2a2不奇怪本回答被提问者采纳

Answer 3

题目没有讲a1，a2，a3是特征值的特征向量，它们可以线性相关

Answer 4

有一个特征值是0