第1个回答 2018-09-23
变量替换法@ 令a^x-1=t,根据指数函数连续性,当x->0时,t->0
然后,x=loga(1+t),(以a为底的对数)
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] 并且x趋于0变成是t趋于0的极限,当变量替换后,t/loga(1+t)=1/[loga(1+t)^(1/t)],因为重要极限当t趋近0时,(1+t)^(1/t)趋近于e,所以 原式=1/logae(以a为底e的对数)=lna
第2个回答 2018-11-04
解最后一步用了个换底公式,以a为底的loga(1+t)换成以e为底就是ln(1+t)/ln(a),然后代入原公式里再根据洛必达法则分子分母取导,只剩(1+t)*ln(a),t趋近于0,于是就是ln(a)。
第3个回答 2019-03-23
令a^x-1=t,x=loga(1+t)
x->0,t->0,
lim(x->0)(a^x-1)/x =
lim (t->0)(t/loga(1+t))
上下约t,lim(t->0)1/(1/t*(loga(1+t)))
等于1/loga(1+t)^(1/t)
高等数学里的"两个重要极限"
lim(x->0)(1+t)^(1/t)=e
所以可知
上式等于1/logae=lna
第4个回答 2019-07-19
都是神仙..没有那么麻烦..对数运算法则loga(M^n)=nlogaM,t/loga(1+t)=log(1+t)*1/t=log(1+t)^(1/t),代入重要法则(1+x)^(1/x)=e,得1/loga(e),对数换底公式得lna/lne,lne=1,得lna