MN是圆o的直径，MN=2,点A在圆o上，角AMN=30度，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为？

Question

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书上参考答案是 根号2

Answer 1

做点A关于MN对称点c，PA+PB=PC+PB,显然当P,C,B在同一直线时有最小值=PC，因为角AMN=30度，所以角AON=60度，因为对称，所以角BON=60度，又因为Bs是弧AN中点，所以角BON=1/2角AON=30度，所以角BOC=90度，故PC=MN/2*根号2=根号2即，最小值为根号2

Answer 2

在圆上取一点B',使弧B'N=弧BN,连接AB',交MN于P',连接PB'
显然B,B'点关于MN对称,所以PB=PB'
而在三角形APB'中,PA+PB'>AP'
所以:PA+PB>AP'
显然当P与P'重合时,PA+PB为最小,为AP'
连接AO,B'O
角AON=2*角AMN=60度
角B'ON=弧B'N=弧BN=(1/2)弧AN=角AMN=30度
角AOB'=角AON+角B'ON=90度
所以:AP'=(根号2)*ON=根号2
PA+PB的最小值=根号2

Answer 3

解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°，
则弧BN的度数是30°，
根据垂径定理得弧CN的度数是30°，
则∠AOC=90°，
又∵OA=OC=1，
则AC=
根号2
．
故选B．

Answer 4

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Answer 5

AP垂直于MN时，AN=1/2MN=1,AP=AN*sin60。.BP=1/2AN,所以最小值为（1+√ 3）/2