三角形ABC的三边满足关系BC=1/2(AB+AC),O,I分别为三角形ABC的外心和内心，角BAC的外角平分线交圆O与E，

Question

AI的延长线交圆O与D，DE交BC与H求证(1)AI=BD （2）OI=1/2AE

Answer 1

∵AB平分∠BAC∴AB/AC=BN/CN
∴（AB+AC）/AC=(BN+CN)/CN
又∵AB+AC=2BC, BN+CN=BC
∴2BC/AC=BC/CN
∴AC=2CN
又∵△ABD相似△ANC
∴AD/BD=AC/CN
∴AD=2BD
由性质定理就知道BD=DI，∴BD=DI=AI，又∵DE是直径，所以O为DE中点
∴OI是△ADE的中位线，所以OI=1AE/2

Answer 2

证明：（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，如图，
∴AG=
1
2
（AB+AC-BC），
而BC=
1
2
（AB+AC），
∴AG=
1
2
BC，
又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，
∴∠EAD=90°，
∴O点在DE上，即ED为⊙O的直径，
而BD弧=DC弧，
∴ED垂直平分BC，即BH=
1
2
BC，
∴AG=BH，
而∠BAD=∠DAC=∠DBC，
∴Rt△AGI≌Rt△BHD，
∴AI=BD；
（2）∵∠BID=∠BAI+∠ABI，
而∠BAI=∠DBC，∠ABI=∠CBI，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=DB，
而AI=BD，
∴AI=ID，
∴OI为三角形AED的中位线，
∴OI=
1
2
AE．