试题分析:(1)∵ABCD是矩形,取PB的中点为G,连GF,GE,由三角形中位线定理,知GF//BC//AD,GE//PA,又GE与GF交于G,PA与AD交于A,所以平面GEF//平面PAD,EF∥平面PAD。 (2)∵ABCD是矩形,∴CB=AD、∠CBE=90°、BC⊥CD。 ∵PA⊥平面ABCD,∴∠PAE=90°。 ∵PA=AD、CB=AD,∴PA=CB,又AE=BE、∠PAE=∠CBE=90°,∴△PAE≌△CBE, ∴CE=PE,而F∈PC且PF=CF,∴EF⊥PC。 ∵G、F分别是PB、PC的中点,∴GF是△PBC的中位线,∴GF∥BC,而BC⊥CD, ∴CD⊥GF。 ∵G、E分别是PB、AB的中点,∴GE是△BPA的中位线,∴GE∥PA,而PA⊥平面ABCD, ∴GE⊥平面ABCD,∴CD⊥GE。 由CD⊥GF、CD⊥GE、GF∩GF=G,∴CD⊥平面GEF,∴EF⊥CD。 (3)过F作FO⊥AC交AC于O。 ∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AC,PA⊥EO,得:FO∥PA,FO⊥EO,AO=CO。 由PF=CF,FO∥PA,得:FO= PA。 由AE=BE,AO=CO,得:EO= BC。 由PA⊥面ABCD,FO∥PA,得:FO⊥面ABCD,∴∠FEO就是EF与面ABCD所成的角。 ∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,∴PA=AD,结合证得的FO= PA, 得:FO= AD。 ∵ABCD是矩形,∴AD=BC,结合证得的EO= BC,得:EO= AD。 由FO= AD,EO= AD,FO⊥EO,得:∠FEO=45°。 即:EF与面ABCD所成的角为45°。 点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用向量则能简化证明过程。 |