如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别A（ -2 3 ，0）、B（ -2

Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别A（ -2 3 ，0）、B（ -2 3 ，2），∠CAO=30°．（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得，OA=2 3 ，∠CAO=30°， 则OC=OAtan∠CAO=2， 即点C的坐标为（0，2）， 设直线AC的解析式为：y=kx+b，将点A及点C的坐标代入得： -2 3 k+b=0 b=2 ， 解得： k= 3 3 b=2 ， 故直线AC的函数表达式为：y= 3 3 x+2． （2）过点D作DE⊥OA于点E， ∵∠CAO=30°， ∴∠DAE=60°， 又∵AD=AO=2 3 ， ∴DE=3，AE= 3 ， ∴OE= 3 ， 故点D的坐标为（- 3 ，3）． （3） ①当AD为平行四边形的一边时，点P的位置有两个，分别为P 1 、P 2 ， 当点P位于P 1 位置时，DP 1 =AO， 此时可得点P的坐标为（ 3 ，3）； 当点P位于P 2 位置时， ∵OD=AD，△AOD是等边三角形， ∴点P 2 与点D关于x轴对称， 此时可得点P的坐标为（- 3 ，-3）； ②当AD为平行四年行的对角线时，点P的位置有一个，在P 3 的位置， 此时DP 3 =AO， 故可得点P的坐标为（-3 3 ，3）． 综上可得存在点P的坐标，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（ 3 ，3）或（- 3 ，-3）或（-3 3 ，3）．