正十七边形尺规作图这样怎么画

Question

我在维基百科找到一幅gif的画正十七边形的图片，上面画的很详细，但看不出原点和半径，谁能说一下这种话发的详细步骤。图片地址：http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=File:HeptadecagonConstructionAni.gif&variant=zh-cn

Answer 1

我58岁了，只有小学文化，不会在电脑上作图，只好用文字给你描述了。请原谅！ 正多边形的画法： 1.作一互相垂直的十字线，把交叉点称为o点。 2.以o点为圆心作圆，圆与十字线分别相交于a、b、c、d点。（把相当于时钟12点的位置叫做a点，6点的位置叫做b点，9点的位置叫做c点，3点的位置叫做d点）。 3.等分线段ab（需要作正几边形就把ab等分成相应的份数），咱把线段ab被等分后得到的点依次称为a、1、2、3......b点）。 4.以b点为圆心，ba为半径作圆弧，与cd的延长线交于f点。 5.连接f、2两点，其延长线与圆周交于g点，ag就是内接正多边形的边长。（无论你需要画正几边形，都是连接f、2两点）。 6.用分规在圆周上画出正多边形的各顶点，再用三角板画出各边线，这样你所要的正多边形就完成了。 这种画法叫做“过2点相交法”；应用这种方法，可以画出5边及以上任意正多边形来。

Answer 2

总体分五步走，见完整图并附上步骤5的放大图。关键点就是步骤5中端点的连线不能错。

Answer 3

正十七边形尺规作图：

先计算或作出cos(360°/17)

设正17边形中心角为a，则17a=360°,即16a=360°-a

故sin 16a=-sin a，而

sin 16a=2sin 8a·cos 8a=4sin 4a·cos 4a·cos 8a=16sin a·cos a·cos 2a·cos 4a·cos 8a

因sin a不等于0，两边除之有：

16cos a·cos 2a·cos 4a·cos 8a=-1

又由2cos a·cos 2a=cos a+cos 3a(三角函数积化和差公式)等

注意到cos 15a=cos 2a,cos 12a=cos 5a(诱导公式)等，有

2(cos a+co s2a+…+cos 8a)=-1

令

x=cos a+cos 2a+cos 4a+cos 8a

y=cos 3a+cos 5a+cos 6a+cos 7a

有：

x+y=

又xy=(cos a+cos 2a+cos 4a+cos 8a)(cos 3a+cos 5a+cos 6a+cos 7a)

=

(cos 2a+cos 4a+cos 4a+cos 6a+…+cos 14a+cos 15a)

经计算知xy=-1

因而：x=

,y=

其次再设：

=cos a+cos 4a,x2=cos 2a+cos 8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

故有x1+x2=

y1+y2=

最后，由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

可求cosa之表达式,

它是有理数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出

做法

1.给一圆O，作两垂直的直径AB、CD.

2.在OA上作E点使OE=1/4AO,连结CE.

3.作∠CEB的平分线EF.
4.作∠FEB的平分线EG,交CO于P.
5.作∠GEH=45°,交CD于Q.
6.以CQ为直径作圆,交OB于K.
7.以P为圆心,PK为半径作圆,交CD于L、M.
8.分别过M、L作CD的垂线,交圆O于N、R.
9.作弧NR的中点S,以SN为半径将圆O分成17等份.

简易作法

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因为360°/17≈21°10′ ,利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。用该方法作正十七边形总误差为17*4′=68′，在不要求十分精确的情况下还是可行的。

作法如下：

1.先画一条直线，用圆规在上面截取5条相等线段，(尽量越短越好),再截取之前四条线段的和，接续之前画的线段。这样，如果每条小线段算作0.1的话，那么整条线段就是1.8。

2.用圆规截取之前5条小线段的长，画5次，这样这条线段就是5。1.8/5=0.36。准备工作完毕！

3.另作一条直线，作垂线，1.8的线段作为对边，5的线段作为斜边，那个最小的锐角即是近似的360°/17的角。以其顶点为圆心，重复作角直至闭合。画一大圆，连接其与17条射线的交点，即可。

来源：百度百科—正十七边形