如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE垂直EF，BE=2.

Question

如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE垂直EF，BE=2.
（1）求EC∶CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（3）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AE⊥EF，

∴∠2+∠3=90°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠1+∠3=90°，∠1=∠2，

∴△ABE∽△ECF，

∴EC：CF=AB：BE=5：2；

（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME．

∴AM=CE．

∴∠BME=45°，

∴∠AME=135°．

∵CP是外角平分线，

∴∠DCP=45°，

∴∠ECP=135°．

∴∠AME=∠ECP．

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF．

∴△AME≌△PCE（ASA）．

∴AE=EP．

Answer 2

（1）5：2
(2)相等

过P做BC的垂直线交BC延长线于Q

∵AE⊥EP，∠AEP为直角

∴∠AEB与∠PEC互补

而∠B为直角

∴∠AEB与∠EAB互补

∴∠EAB等于∠PEC

同时，∠B等于∠Q等于90°

∴△ABE∽△EPQ

则，BE：AB=PQ：EQ

∵PC为角平分线

∴PQ=CQ

代入数值得：

2：5=PQ：（PQ+3）

解方程得：PQ=2

∴△AEB≌△EPQ

∴AE=EP本回答被网友采纳

Answer 3

解：（1）∵AE⊥EF 且BEC为一条直线，即成180°
∴∠AEB+∠FEC=90°
∴∠BAE=∠CEF
∴Rt△BAE∽Rt△CEF
EC:CF=AB:BE=5:2
(2)作BC的垂线，交BC的延长线于Q，
设PQ=x
易证 △EFC∽△EQP
∴ EC/EQ=CF/PQ
即 3/(3+x)=6/5/x
∴ x=2
∴ EQ=AB=5
EP=AE
(3)在AB上取一点M，使AM=2，
易证 Rt△BAE≌Rt△ADM
∴ ∠AMD+∠EAB=90°
∴ MD⊥AE
又 已知 AE⊥EP
∴ MD‖EP
由（2）可知 EP=AE
∴ 四边形DMEP是平行四边形

Answer 4

解：（1）∵AE⊥EF 且BEC为一条直线，即成180°
∴∠AEB+∠FEC=90°
∴∠BAE=∠CEF
∴Rt△BAE∽Rt△CEF
EC:CF=AB:BE=5:2
(2)作BC的垂线，交BC的延长线于Q，
设PQ=x
易证 △EFC∽△EQP
∴ EC/EQ=CF/PQ
即 3/(3+x)=6/5/x
∴ x=2
∴ EQ=AB=5
EP=AE
(3)在AB上取一点M，使AM=2，
易证 Rt△BAE≌Rt△ADM
∴ ∠AMD+∠EAB=90°
∴ MD⊥AE
又 已知 AE⊥EP
∴ MD‖EP
由（2）可知 EP=AE
∴ 四边形DMEP是平行四边形

Answer 5

解：（1）∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴EC：CF=AB：BE=5：2；
（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME．
∴AM=CE．
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°．
∵CP是外角平分线，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°．
∴∠AME=∠ECP．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∴△AME≌△PCE（ASA）．
∴AE=EP．