探索极限中的非零因子：何时可以提出来?
在极限运算的领域，当两个函数f(x)和g(x)相互交织时，我们面临着一个有趣的数学现象：如果lim f(x)和lim g(x)都存在且有限，那么lim f(x) * g(x) 就可以简化为它们各自极限的乘积，即
lim f(x) * g(x) = lim f(x) * lim g(x)。这一规则尤其适用于常数因子的情况，如
f(x) = C，此时无论
limg(x) 是有限、无限还是不存在，常数C都可以被安全地提出极限外，结果保持不变，即使C为0，极限仍恒等于0（但需注意，这个情况仅限于C为常数，而非函数）。这是为什么呢？
我们来深入探讨一下这个结论背后的逻辑。假设我们有两个数列
a(n) 和
b(n)，它们的极限分别为
A 和
B，这意味着它们的极限都存在且有限。为了证明
lim a(n) * b(n) = AB，我们可以运用数学分析中的一个关键技巧。首先，我们利用绝对值三角不等式，将
|a(n)b(n) - AB| 分解为：
\[ |a(n)b(n) - AB| = |a(n)b(n) - Ab(n) + Ab(n) - AB| \leq |b(n)(a(n) - A)| + |A(b(n) - B)| \]
由于
b(n) 有极限，意味着它是有界的，我们可以找到一个常数
M，使得对所有
n，
|b(n)| ≤ M 成立。然后，通过极限定义，我们可以选择足够大的
N₁ 和
N₂，使得
n ≥ N₁ 时
|a(n) - A| < ε/2A，
n ≥ N₂ 时
|b(n) - B| < ε/2M。选取较大的
N，使得
|b(n)| × |a(n) - A| + |A| × |b(n) - B| < ε。
这个证明过程揭示了关键条件：
A 和
B 必须存在且有限，这样才允许我们进行这样的极限交换。因此，只有在满足这些前提下，极限中的非零因子才可以在运算中被提出，而不改变最终结果。