北京市海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（文科）
注意事项：
1．答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。
2．第i卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。第ii卷各小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1． 若集合 ，则b∪（ ）等于 （ ）
a．{5} b．{1，2，5} |?~Y0`QHa')2d~V: [ 本 资 料 来 源 于 贵 州 学 习 网 高考频道试题宝库
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c．{1，2，3，4，5} d．
2．等差数列{ }的公差d<0，且 ，则数列{ }的通项公式是 （ ）
a． b．
c． d．
3．若函数 +1的反函数是 ，则函数 的图象大致是 （ ）
a． b． c． d．
4．双曲线 的焦距是10，则实数m的值为 （ ）
a．－16 b．4 c．16 d．81
5．若α、β是两个不同平面，m、n是两条不同直线，则下列命题不正确的是 （ ）
a． 则
b．m‖n，m⊥α，则n⊥α
c．n‖α，n⊥β，则α⊥β
d．α∩β=m，n与α、β所成的角相等，则m⊥n
6．若 ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
a． b．
c． d．
7．某科技小组有四名男生两名女生. 现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生
入选的不同选法种数为 （ ）
a． b． c． d．
8．若 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
a．充要条件 b．充分不必要条件
c．必要不充分条件 d．既不充分又不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
9．不等式 的解集为 .
10．将圆 按向量 =（1，－2）平移后，得到圆c′，则圆c′的半径为 ，其圆心坐标为 .
11．在同一时间内，对同一地域，市、区两个气象台预报天气准确的概率分别为 、 ，
两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一气象台预报准确的概率是 .
12．如图，边长均为2的正方形abcd与正方形abef构成60°的二面角d—ab—f，则点d到点f的距离为 ，点d到平面abef的距离为 .
13．若函数 的定义域为r，
则 的值为 .
14．对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”
仿此，52的“分裂”中最大的数是 ，若 的“分裂”中最小的数是21，则m的值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题共13分）
已知函数
（1）求函数 的最小正周期和最大值；
（2）函数 的图象可由 ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得
到？
16．（本小题共13分）
已知函数 、 ），函数 的图象在点（2， ）处的切线与x轴平行.
（1）用关于m的代数式表示n；
（2）当m=1时，求函数 的单调区间.
17．（本小题共14分）
如图：三棱锥p—abc中，pb⊥底面abc，∠bac=90°，pb=ab=ac=4，点e是pa的中点.
（1）求证：ac⊥平面pab；
（2）求异面直线be与ac的距离；
（3）求直线pa与平面pbc所成的角的大小.
18．（本小题共13分）
平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两定点a（1，0）、b（0，－1），动点p（ ）满足： .
（1）求点p的轨迹方程；
（2）设点p的轨迹与双曲线 交于相异两点m、n. 若以
mn为直径的圆经过原点，且双曲线c的离心率等于 ，求双曲线c的方程.
19．（本小题共13分）
数列 的前n项和为 对任意的 都成立，其中m为常数，且m<－1.
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）记数列 的公比为q，设 若数列 满足；
）. 求证：数列 是等差数列；
（3）在（2）的条件下，设 ，数列 的前n项和为 . 求证：
20．（本小题共14分）
函数 的定义域为r，并满足以下条件：
①对任意 ，有 ；
②对任意 、 ，有 ；
③
（1）求 的值；
（2）求证： 在r上是单调增函数；
（3）若 ，求证：
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数学（文科）答案
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1．b 2．d 3．a 4．c 5．d 6．a 7．c 8．b
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10． （2分） （0，0）（3分） 11．0.98
12．2（2分） （3分） 13．－6 14．9（2分） 5（3分）
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）解：（1） …………2分
）………………………………4分
∴t= …………………………………………………………6分
（2）先将 ）的图象向左移 个单位，得到 的图象；再将 的图象的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到 的图象.…………………………13分
或先将 ）的图象的横坐标变为原来一半，纵坐标不变，得到函数
的图象；再将 的图象向左移 个单位，得到 的图象.………………………………13分
16．（共13分）解：（1） ………………2分
由已知条件得： ∴3m+n=0 ………………4分 ∴n=－3m…………6分
（2）若m=1，则n=－3……………………7分
，令 ………………8分
或 ………………10分 令 ………12分
∴ 的单调递增区间为（－∞，0），（2，+∞）
∴ 的单调递减区间为（0，2）.………………………………13分
17．（共14分）
解法一：（1）∵三棱锥p—abc中，pb⊥底面abc，∠bac=90°
∴pb⊥ac，ba⊥ac……………………4分
∵pb∩ba=b ∴ac⊥平面pab………………4分
（2）∵pb=ba=4，点e是pa的中点
∴be⊥ea………………5分 又∵ea 平面pab
由（1）知ac⊥ea………………6分
∴ea是异面直线be、ac的公垂线段…………7分
∵pb⊥ab ∴△pba为直角三角形…………8分
∴ea= pa= ×4 =2 ∴异面直线be与ac的距离为2 .………………9分
（3）取bc中点d，连结ad、pd ∵ab=ac=4，∠bac=90°
∴bc⊥ad ad=2 ∵pb⊥底面abc，ad 底面abc
∴pb⊥ad ∵pb∩bc =b ∴ad⊥平面pbc………………11分
∴pd为pa在平面pbc内的射影 ∴∠apd为pa与平面pbc所成角.…………………12分
在rt△adp中， ……………………13分
∴∠apd=30° ………………14分 ∴pa与平面pbc所成角大小为30°.
解法二：（1）同解法一…………………………4分
（2）同解法一……………………………9分
（3）过点a作ad//pb，则ad⊥平面abc
如图，以a为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则a（0，0，0），b（－4，0，0），c（0，4，0），
p（－4，0，4）………………10分
………………11分
设平面pbc的法向量
……………………12分
=（1，－1，0） =（4，0，－4），设直线pa与平面pbc所成角为
sin =cos< , > …………………………13分
∴直线pa与平面pbc所成角的大小为30° ………………14分
18．（共13分）解：（1） …………2分
即点p的轨迹方程为 …………4分
（2）由 得： =0
∵点p轨迹与双曲线c交于相异两点m、n ，
且
设 ，则 …………6分
∵以mn为直径的圆经过原点 即：
即
即 ①…………………8分
②………………10分
∴由①、②解得 符合（*）式
∴双曲线c的方程为 ………………………………13分
19．（共13分）证明：（1）当n=1时， …………………………1分
① ②……………2分
①－②得： ……………………3分
…………………………4分
∴数列 是首项为1，公比数 的等比数列.……………………4分
（2） …………7分
……………………9分
∴数列{ }是首项为1，公差为1的等差数列.
（3）由（2）得 n 则 ……10分 ……11分
………………12分
…………………………13分
20．（共14分）解法一：（1）令 ，得： ……………1分
…………………………3分
（2）任取 、 ，且 . 设 则
……………………4分
在r上是单调增函数……10分
（3）由（1）（2）知
………11分
而 ……14分
解法二：（1）∵对任意x、y∈r，有
………1分 ∴当 时 ……2分
∵任意x∈r， …………3分 ……………………4分
（2） …………………………6分
是r上单调增函数 即 是r上单调增函数；………10分
（3） ……………………11分
而
……………………14分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.