线性代数高手进

Question

关于一个定理 我无法理解
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是： A的每个特征值所对应的线性无光特征向量最大个数等于该特征值的重数。（即A的每个r重特征值γ，其特征矩阵的秩r(γE - A) = n - r ，则齐次线性方程组（γE - A）X = 0的基础解系由r个线性无关向量（特征向量）组成）。

特征值的重数 是什么？ 比如r1=r2=1 r3= 2 这种 重数算 2 还是3？ 要知道矩阵A与对角矩阵相似与否 这么简单的理解上面的定理？ 今天看了一下午 还是茫然的.
它对应的线性无关特征向量的最大个数 这句话~~ 这个线性无关特征向量如何找到？ 谢谢 追加分

Answer 1

特征值的重数其实是指代数重数，也就是特征多项式里面相应的根的重数。
比如特征多项式如果是(x-1)^3(x-2)(x-4)^3
那么1就是3重特征值，2是1重特征值，4是3重特征值。
每个特征值的度数(也叫几何重数)是指它对应的线性无关特征向量的最大个数，度数小于等于重数。当矩阵的所有特征值的重数等于度数的时候矩阵可对角化。
上面主要是定义，要理解对角化可以这样看：
如果A=PDP^{-1}，重新写一下就是AP=PD，分析每一列就可以看出来P的每一列都是A的特征向量，也就是说一定要有“足够多”的特征向量才能让A对角化。

Answer 2

电灯剑客正解。

代数重数之和就是矩阵的阶数，而特征值的几何重数永远不会超过代数重数。最多相等。

一旦两者相等，矩阵就能对角化，也就是说矩阵的Jondan标准型中，都是一阶Jondan块。而几何重数小于代数重数时，矩阵就不能对角化，只能相似于一个Jondan型矩阵，而且Jondan块中必有二阶或二阶以上的块。

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书上都有的啊。
（1）先算特征值，比如有3个不同的特征值x1,x2,x3.
（2）对于每个特征值(比如x1),算出A-x1*I=0的基础解系，基础解系的向量就是对应于x1的线性无关的特征向量。