第1个回答 2020-11-19
亚里士多德的三段论的数学证明
内容提要:
在本文中我们在概念代数中证明了亚里士多德的三段论的原始表达式
((A ⊂ B) & (B ⊂ C)) → (A ⊂ C)
即 “如果 A是B 并且 B是C, 那末 A是C”.
1前言
逻辑三段论自公元前三世纪由亚里士多德发现以来, 一直作为人们的逻辑推理的基础. 有些学者看轻逻辑, 因为它无出处. 然而极大多数科学研究者十分重视这条逻辑三段论. 甚至推崇为数学研究的基础. 重视者是因为在实际研究中从三段论的逻辑推理中得到了合乎逻辑的结果, 推进了他们的研究工作. 怀疑者是因为这条逻辑定律的出处在什么地方. 所以重视还是轻视这条定律者各有其说.
我们首先来将亚里士多德的三段论<1>引入如下
如果 A是B 并且 B是C, 那末 A是C
在历史上有两种方法来表达三段论. 第一种称为 “谓词逻辑” 法, 即三段论中每一个命题由主词(subject) 和谓词(predicate) 所构成. 例如命题 “A是B”, “A” 是主词, “是B” 是谓词. 这种表达方法的弱点在于它将连接动词 “是” 与宾词 “B” 捆在一起, 这样就难于用数学表达式来表示一个命题. 第二种表达亚里士多德的三段论的方法为
((A → B) & (B → C)) → (A → C)
这种表达三段论的方法, 虽然是一种数学表达方法, 但是改变了亚里士多德的原意. 这个表达式的意思是 “如果A能推得B并且B能推得C, 那末A能推得C”. 这里用 “→” 来替代前提中的连接动词 “是”, 显然是有背原意. 虽然这是一个逻辑定律且类似于亚里士多德的三段论, 但是不是亚里士多德三段论的正确表达式. 在 “概念数学”<2> 一书的第三篇中我们讨论了 “逻辑代数”. 我们用 “逻辑代数” 中的运算符就能准确地用数学式子将亚里士多德三段论表达出来.
((A ⊂ B) & (B ⊂ C)) → (A ⊂ C)
这里运算符 “⊂” 是逻辑代数中复合运算符, 可以解释成 “是”. 显然这是亚里士多德三段论的准确数学表达式. 这个表达式将在本文中给予证明.
2概念代数和逻辑代数
概念代数是逻辑思维的数学基础. 我们知道 “概念” 是人类的逻辑思维的最小单元. 例如众所周知的命题 “铁是金属”, “猴子是动物”, “老虎属于猫科动物” 等等. 在这些命题中 “铁”, “金属”, “猴子”, “动物”, “老虎” 和 “猫科” 都是概念. 这些概念用连接动词 “是”, “属于” 等连接起来就形成了命题. 以逻辑定律为基础的逻辑推理是逻辑思维的一种方法. 例如 由 “金丝猴是猴子” 以及 “猴子是动物” 两个命题我们可以得到 “金丝猴是动物” 的结论. 这是应用三段定逻辑定律而得到的合乎逻辑的结果. 另外一种逻辑思维的方法是用概念计算的方法来求取命题的逻辑结论. 例如由命题 “老虎属于猫科动物” 通过计算可以得到如下新命题
猫科动物包括老虎
非猫科的动物不是老虎
与猫科动物无关的任意东西必定与老虎无关
如果猫科动物属于某一类, 那末老虎必属于此类
某一动物属于老虎, 那未这个动物必定属于猫科
这是连接概念之间的动词 “包括”, “不是”, “无关” 和 “属于” 都具有概念代数中的运算功能. 它们所对应的符号 “⊃”, “!⊂”, “↕” 和“⊂” 都是运算符号. 为了证明亚里士多德三段论, 必须引入逻辑代数.本回答被网友采纳