拉格朗日方法是对积分
进行极值化，函数y=y(x)待定．他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线
y(x)＋δy(x)，
δy(x)叫曲线y(x)的变分．J相应的增量△J按δy，δy′展开的一、二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J．他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程
他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况，使这个分支继续发展．1770年以后，拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况，现在已发展成为变分法的标准内容．
2．微分方程．早在都灵时期，拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果．他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程．他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的m个特解后，可以把方程降低m价．
在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)〔22〕中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线．当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G．达布(Darboux)等人完成的．
常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行．拉格朗日在1772年完成的“论三体问题”(Essai sur le problémedes trois corps)〔8〕中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日平动解．他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论的建立．
拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在1772年完成的。“关于一阶偏微分方程的积分”(Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order)〔21〕和1785年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)〔23〕中，系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法．
他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系．还对形如
的非线性方程，化为解线性方程
后来又进一步证明了解线性方程
Pp＋Qq=R(P，Q，R为x，y，z的函数)(5)
与解
等价，而解(6)式又与解常微分方程组
等价．(5)式至今仍称为拉格朗日方程．有趣的是，由上面已可看出，一阶非线性偏微分方程，可以化为解常微分方程组．但拉格朗日自己却不明确，他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时，还说不能用这种方法，可能他忘记了自己在1772年的结果．现代也有时称此方法为拉格朗日方法，又称为柯西(Cauchy)的特征方法．因拉格朗日只讨论两个自变量情况，在推广到n个自变量时遇到困难，而后来由柯西在1819年克服．
3．方程论．18世纪的代数学从属于分析，方程论是其中的活跃领域．拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上．
他在代数方程解法中有历史性贡献．在长篇论文“关于方程的代数解法的思考” (Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421)中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因．三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程．拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数)．他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功．尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子．因而拉格朗日是群论的先驱．他的思想为后来的N．H．阿贝尔(Abel)和 E．伽罗瓦(Galois)采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题．
拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法．设p为方程
这就是后来在天体力学中常用的拉格朗日级数．他自己没有讨论收敛性，后来由柯西求出此级数的收敛范围．
4．数论．拉格朗日到柏林初期就开始研究数论，第一篇论文“二阶不定问题的解”(Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés〔14〕和送交都灵《论丛》的“一个算术问题的解”(Solution d'un problème d'arithmetique)〔15〕中，讨论了欧拉多年从事的费马(Fermat)方程
x2-Ay2=1(x，y，A为整数)，(9)
不定问题解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)〔16〕中得到更一般的费马方程
x2-Ay2=B(B也为整数)(10)
的解．还讨论了更广泛的二元二次整系数方程
ax2＋2bxy＋cy2＋2dx＋2ey＋f=0，(11)
并解决了整数解问题．
拉格朗日还在1772年的“一个算术定理的证明”(De monstration d'un théorème d'arthmétique，《文集》Ⅲ，pp．189—201)中，把欧泣40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来．在1773年发表的“质数的一个新定理的证明”(Démonstation d'un theorem nouveau concernant les nombres premiers)〔17〕中，证明了著名的定理：n是质数的充要条件为(n-1)！＋1能被n整除．
拉格朗日不仅有大量成果，还在方法上有创新．如在证明(9)式
研究”(Recherches d'arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp．695—795)中，研究(11)式解时采用的方法和结果，是二次型理论的基本文献．
5．函数和无穷级数．同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数则是多项式的推广．他还试图用代数建立微积分的基础．在他的《解析函数论……》(《文集》Ⅸ)中，书名上加的小标题“含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术”，表明了他的观点．由于迥避了极限和级数收敛性问题，当然就不可能建立真正的级数理论和函数论，但是他们的一些处理方法和结果仍然有用，他们的观点也在发展．
拉格朗日就在《解析函数论……》中，第一次得到微分中值定理(书中第六章)
f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)
后面并用它推导出泰勒(Taylor)级数，还给出余项Rn的具体表达式(第二十章)
Rn就是著名的拉格朗日余项形式．他还着重指出，泰勒级数不考虑余项是不能用的．虽然他还没有考虑收敛性，甚至各阶导数的存在性，但他强调Rn要趋于零．表明他已注意到收 题．
他同欧拉、达朗贝尔等在任意函数能否表为三角级数的长期争论，虽未解决，但为以后三角级数理论的建立打下了基础．
最后要提一下他在《师范学校数学基础教程》中，提出了著名的拉格朗日内插公式
直到现在计算机计算大量中点内插时仍在使用．另外在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用．
除了对数学分析在18世纪建立的主要分支有开拓性贡献外，他对严格化问题也开始注意．尽管回避了极限概念，但他仍承认可以在极限基础上建立微积分(《文集》Ⅰ，p．325)．但正是对严格化重视不够，所建立的分支到一定阶段就很难深入．这可能是他晚年研究工作少的原因．他在1781年9月21日给达朗贝尔的信中说：“在我看来，似乎(数学)矿井已挖掘很深了，除非发现新矿脉，否则势必放弃它…．”(《文集》XⅢ368．)这说出了他和其他同事们的心情．事实表明，19世纪在建立数学分析严格基础后，数学更迅速地发展．
分析力学的创立者 牛顿的力学理论仍用几何方法讨论．到18世纪中期，欧拉和达朗贝尔开始用分析方法，而拉格朗日在使力学分析化方面最出色，他在1788年出版的《分析力学》一书，就是分析力学这门学科建立的代表作．他一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献，都归纳到这部著作中．他的研究目的是使力学成为数学分析的分支．他在《分析力学》的序言中说：“…我在其中阐明的方法，既不要求作图，也不要求几何的或力学的推理，而只是一些按照一致而正规的程序的代数(分析)运算．喜欢分析的人将高兴地看到，力学变成了它的一个新分支，并将感激我扩大了它的领域．”实际情况正是这样．
拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法．
他首先引入广义坐标概念，故广义坐标又称为拉格朗日坐标．一个力学系统可用有限个坐标qj(j=1，2，…，N)表示；qj= dqj/dt为相应的广义速度．力学系统总动能T(拉格朗日称之为活力)表为qj•qj和时间t的函数后，定义
为作用，最小作用原理成为δI=0．拉格朗日用变分法讨论δI=0时，导出了力学系统的运动方程为
其中Qj为力学系统受到的作用力在广义坐标中的表达式，称为广义力．如力为保守的，则存在势函数V，(16)式成为
(16)或(17)式就是第二类拉格朗日方程．后来S．D．泊松(Poisson)等引入函数
L就取名为拉格朗日函数．
拉格朗日还把这些方法用于研究质点组，刚体和流体．在流体力学中讨论流体内各点的运动方法仍称为拉格朗日方法．
最后收集到《文集》中的《分析力学》是第二版，共分两卷，785页．第一卷中一半讲述“静力学”，主要讨论质点组和流体的平衡问题．从分析静力学原理开始，讨论了质点组和流体的平衡条件，并用于研究行星的形状．第一卷后半和第二卷全部讨论“动力学”．
动力学部分共分为十三章，前四章讲述动力学原理和建立质点系统运动方程的拉格朗日方法，包括(16)，(17)式的推导以及运动的一般性质．第五章“用任意常数变化解动力学问题的一般近似方法”中，把他在微分方程解法中的任意常数变异法用于解动力学方程．后面讨论了一阶近似的求积方法．第七章“关于能看作质点的自由物体系统在引力作用下的运动”主要讲天体力学的基本问题．第八、九章讨论不动中心吸引问题和刚体动力学．第十章讨论地球自转和月球天平动．最后三章讨论流体动力学基本问题，作为拉格朗日方法的应用．
拉格朗日创立分析力学使力学发展到新的阶段．拉格朗日方程(16)，(17)式推广了牛顿第二运动定律；使得在任意坐标系下有统一形式的运动方程，便于处理各种约束条件等优点，至今仍为动力学中的最重要的方程．在《分析力学》第二版印出(第二卷1816年)后不久，W．R．哈密顿(Hamilton)于1834年提出广义动量并建立哈密顿正则方程，又同K．G．雅可比(Jacobi)一起建立哈密顿-雅可比方法(1837)后，分析力学正式奠基建成，很快用到各学科领域．
天体力学的奠基者 天体力学是在牛顿发表万有引力定律(1687)时诞生的，很快成为天文学的主流．它的学科内容和基本理论是在18世纪后期建立的．主要奠基者为欧拉，A．C．克莱罗(Clairaut)、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯．最后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学．拉格朗日一生的研究工作中，约有一半同天体力学有关，但他主要是数学家，他要把力学作为数学分析的一个分支，而又把天体力学作为力学的一个分支对待．虽然如此，他在天体力学的奠基过程中，仍有重大历史性贡献．
首先在建立天体运动方程上，拉格朗日用他在分析力学中的原理和(16)，(17)式，建立起各类天体的运动方程．其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛应用，此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用，方程在1780年获巴黎科学院奖的论文“彗星在行星作用下的摄动理论研究”(Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes)〔13〕中给出，得到达朗贝尔和拉普拉斯的高度评价．另外在一篇有关三体问题的获奖文章中〔8〕，把三体问题的运动方程组第一次降到七阶．
在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解〔8〕，即拉格朗日平动解．其中两个解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中，永远保持等边三角形．他的这个理论结果在100多年后得到证实． 1907年2月22日，德国海德堡天文台发现了一颗小行星〔后来命名为希腊神话中的大力士阿基里斯(Achilles)，编号588〕，它的位置正好与太阳和木星形成等边三角形．到1970年前，已发现15颗这样的小行星，都以希腊神话中特洛伊(Troy)战争中将帅们的名字命名．有9 颗位于木星轨道上前面60°处的拉格朗日特解附近，名为希腊人(Greek)群；有6颗位于木星轨道上后面60°处的解附近，名为脱罗央(Trojan)群．1970年以后又继续发现40多颗小行星位于此两群内，其中我国紫金山天文台发现四颗，但尚未命名．至于为什么在特解附近仍有小行星，是因为这两个特解是稳定的．1961年又在月球轨道前后发现与地月组成等边三角形解处聚集的流星物质，是拉格朗日特解的又一证明．至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群(三体共线情况)处附近的天体，因为这三个特解不稳定．另外，拉格朗日在一阶摄动理论中也有重要贡献，提出了计算长期摄动方法(《文集》Ⅴ，pp．125—414)，并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理(参见《世界著名科学家传记•天文学家Ⅰ》中“拉普拉斯”条)．此外，拉格朗日级数(8)式在摄动理论中有广泛应用．
在具体天体的运动研究中，拉格朗日也有大量重要贡献，其中大部分是参加巴黎科学院征奖的课题．他的月球运动理论研究论文多次获奖．1763年完成的“月球天平动研究”(Recherches sur laLibration de la lune)〔6〕获1764年度奖，此文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异，但对月球赤道和轨道面的转动规律解释得不够好．后来在1780年完成的论文解决得更好(参见《文集》Ⅴ，pp．5—123)．获1772年度奖的就是著名的三体问题论文〔8〕，也是针对月球运动研究写出的．获1774年度奖的论文为“关于月球运动的长期差”(Sur l’equation séculaire de la lune)〔9〕，其中第一次讨论了地球形状和所有大行星对月球的摄动．关于行星和彗星运动的论文也有两次获奖．1776年度获奖的是他在1775年完成的三篇论文〔10，11，12，〕其中讨论了行星轨道交点和倾角的长期变化对彗星运动的影响．1780年度的获奖论文就是提出著名的拉格朗日行星运动方程的那篇〔13〕．
获1766年度奖的论文是“木星的卫星运动的偏差研究…”(Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…)〔7〕，其中第一次讨论了太阳引力对木星的四个卫星运动的影响，结果比达朗贝尔的更好．
拉格朗日从事的天体力学课题还有很多，如在柏林时期的前半部分，还研究了用三个时刻的观测资料计算彗星轨道的方法(《文集》Ⅳ，pp．439—532)，所得结果成为轨道计算的基础．另外他还得到了一种力学模型——两个不动中心问题的解，这是欧拉已讨论过的，又称为欧拉问题．是拉格朗日推广到存在离心力的情况，故后来又称为拉格朗日问题(《文集》Ⅱ，pp．67—121)．这些模型现在仍在应用．有人用作人造卫星运动的近似力学模型．此外，他在《分析力学》中给出的流体静力学的结果，后来成为讨论天体形状理论的基础．
总的看来，拉格朗日在天体力学的五个奠基者中，所做的历史性贡献仅次于拉普拉斯．他创立的“分析力学”对以后天体力学的发展有深远的影响．
进行极值化，函数y=y(x)待定．他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线
y(x)＋δy(x)，
δy(x)叫曲线y(x)的变分．J相应的增量△J按δy，δy′展开的一、二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J．他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程
他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况，使这个分支继续发展．1770年以后，拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况，现在已发展成为变分法的标准内容．
2．微分方程．早在都灵时期，拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果．他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程．他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的m个特解后，可以把方程降低m价．
在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)〔22〕中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线．当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G．达布(Darboux)等人完成的．
常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行．拉格朗日在1772年完成的“论三体问题”(Essai sur le problémedes trois corps)〔8〕中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日平动解．他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论的建立．
拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在1772年完成的。“关于一阶偏微分方程的积分”(Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order)〔21〕和1785年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)〔23〕中，系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法．
他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系．还对形如
的非线性方程，化为解线性方程
后来又进一步证明了解线性方程
Pp＋Qq=R(P，Q，R为x，y，z的函数)(5)
与解
等价，而解(6)式又与解常微分方程组
等价．(5)式至今仍称为拉格朗日方程．有趣的是，由上面已可看出，一阶非线性偏微分方程，可以化为解常微分方程组．但拉格朗日自己却不明确，他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时，还说不能用这种方法，可能他忘记了自己在1772年的结果．现代也有时称此方法为拉格朗日方法，又称为柯西(Cauchy)的特征方法．因拉格朗日只讨论两个自变量情况，在推广到n个自变量时遇到困难，而后来由柯西在1819年克服．
3．方程论．18世纪的代数学从属于分析，方程论是其中的活跃领域．拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上．
他在代数方程解法中有历史性贡献．在长篇论文“关于方程的代数解法的思考” (Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421)中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因．三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程．拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数)．他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功．尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子．因而拉格朗日是群论的先驱．他的思想为后来的N．H．阿贝尔(Abel)和 E．伽罗瓦(Galois)采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题．
拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法．设p为方程
这就是后来在天体力学中常用的拉格朗日级数．他自己没有讨论收敛性，后来由柯西求出此级数的收敛范围．
4．数论．拉格朗日到柏林初期就开始研究数论，第一篇论文“二阶不定问题的解”(Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés〔14〕和送交都灵《论丛》的“一个算术问题的解”(Solution d'un problème d'arithmetique)〔15〕中，讨论了欧拉多年从事的费马(Fermat)方程
x2-Ay2=1(x，y，A为整数)，(9)
不定问题解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)〔16〕中得到更一般的费马方程
x2-Ay2=B(B也为整数)(10)
的解．还讨论了更广泛的二元二次整系数方程
ax2＋2bxy＋cy2＋2dx＋2ey＋f=0，(11)
并解决了整数解问题．
拉格朗日还在1772年的“一个算术定理的证明”(De monstration d'un théorème d'arthmétique，《文集》Ⅲ，pp．189—201)中，把欧泣40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来．在1773年发表的“质数的一个新定理的证明”(Démonstation d'un theorem nouveau concernant les nombres premiers)〔17〕中，证明了著名的定理：n是质数的充要条件为(n-1)！＋1能被n整除．
拉格朗日不仅有大量成果，还在方法上有创新．如在证明(9)式
研究”(Recherches d'arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp．695—795)中，研究(11)式解时采用的方法和结果，是二次型理论的基本文献．
5．函数和无穷级数．同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数则是多项式的推广．他还试图用代数建立微积分的基础．在他的《解析函数论……》(《文集》Ⅸ)中，书名上加的小标题“含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术”，表明了他的观点．由于迥避了极限和级数收敛性问题，当然就不可能建立真正的级数理论和函数论，但是他们的一些处理方法和结果仍然有用，他们的观点也在发展．
拉格朗日就在《解析函数论……》中，第一次得到微分中值定理(书中第六章)
f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)
后面并用它推导出泰勒(Taylor)级数，还给出余项Rn的具体表达式(第二十章)
Rn就是著名的拉格朗日余项形式．他还着重指出，泰勒级数不考虑余项是不能用的．虽然他还没有考虑收敛性，甚至各阶导数的存在性，但他强调Rn要趋于零．表明他已注意到收 题．
他同欧拉、达朗贝尔等在任意函数能否表为三角级数的长期争论，虽未解决，但为以后三角级数理论的建立打下了基础．
最后要提一下他在《师范学校数学基础教程》中，提出了著名的拉格朗日内插公式
直到现在计算机计算大量中点内插时仍在使用．另外在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用．
除了对数学分析在18世纪建立的主要分支有开拓性贡献外，他对严格化问题也开始注意．尽管回避了极限概念，但他仍承认可以在极限基础上建立微积分(《文集》Ⅰ，p．325)．但正是对严格化重视不够，所建立的分支到一定阶段就很难深入．这可能是他晚年研究工作少的原因．他在1781年9月21日给达朗贝尔的信中说：“在我看来，似乎(数学)矿井已挖掘很深了，除非发现新矿脉，否则势必放弃它…．”(《文集》XⅢ368．)这说出了他和其他同事们的心情．事实表明，19世纪在建立数学分析严格基础后，数学更迅速地发展．
分析力学的创立者 牛顿的力学理论仍用几何方法讨论．到18世纪中期，欧拉和达朗贝尔开始用分析方法，而拉格朗日在使力学分析化方面最出色，他在1788年出版的《分析力学》一书，就是分析力学这门学科建立的代表作．他一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献，都归纳到这部著作中．他的研究目的是使力学成为数学分析的分支．他在《分析力学》的序言中说：“…我在其中阐明的方法，既不要求作图，也不要求几何的或力学的推理，而只是一些按照一致而正规的程序的代数(分析)运算．喜欢分析的人将高兴地看到，力学变成了它的一个新分支，并将感激我扩大了它的领域．”实际情况正是这样．
拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法．
他首先引入广义坐标概念，故广义坐标又称为拉格朗日坐标．一个力学系统可用有限个坐标qj(j=1，2，…，N)表示；qj= dqj/dt为相应的广义速度．力学系统总动能T(拉格朗日称之为活力)表为qj•qj和时间t的函数后，定义
为作用，最小作用原理成为δI=0．拉格朗日用变分法讨论δI=0时，导出了力学系统的运动方程为
其中Qj为力学系统受到的作用力在广义坐标中的表达式，称为广义力．如力为保守的，则存在势函数V，(16)式成为
(16)或(17)式就是第二类拉格朗日方程．后来S．D．泊松(Poisson)等引入函数
L就取名为拉格朗日函数．
拉格朗日还把这些方法用于研究质点组，刚体和流体．在流体力学中讨论流体内各点的运动方法仍称为拉格朗日方法．
最后收集到《文集》中的《分析力学》是第二版，共分两卷，785页．第一卷中一半讲述“静力学”，主要讨论质点组和流体的平衡问题．从分析静力学原理开始，讨论了质点组和流体的平衡条件，并用于研究行星的形状．第一卷后半和第二卷全部讨论“动力学”．
动力学部分共分为十三章，前四章讲述动力学原理和建立质点系统运动方程的拉格朗日方法，包括(16)，(17)式的推导以及运动的一般性质．第五章“用任意常数变化解动力学问题的一般近似方法”中，把他在微分方程解法中的任意常数变异法用于解动力学方程．后面讨论了一阶近似的求积方法．第七章“关于能看作质点的自由物体系统在引力作用下的运动”主要讲天体力学的基本问题．第八、九章讨论不动中心吸引问题和刚体动力学．第十章讨论地球自转和月球天平动．最后三章讨论流体动力学基本问题，作为拉格朗日方法的应用．
拉格朗日创立分析力学使力学发展到新的阶段．拉格朗日方程(16)，(17)式推广了牛顿第二运动定律；使得在任意坐标系下有统一形式的运动方程，便于处理各种约束条件等优点，至今仍为动力学中的最重要的方程．在《分析力学》第二版印出(第二卷1816年)后不久，W．R．哈密顿(Hamilton)于1834年提出广义动量并建立哈密顿正则方程，又同K．G．雅可比(Jacobi)一起建立哈密顿-雅可比方法(1837)后，分析力学正式奠基建成，很快用到各学科领域．
天体力学的奠基者 天体力学是在牛顿发表万有引力定律(1687)时诞生的，很快成为天文学的主流．它的学科内容和基本理论是在18世纪后期建立的．主要奠基者为欧拉，A．C．克莱罗(Clairaut)、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯．最后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学．拉格朗日一生的研究工作中，约有一半同天体力学有关，但他主要是数学家，他要把力学作为数学分析的一个分支，而又把天体力学作为力学的一个分支对待．虽然如此，他在天体力学的奠基过程中，仍有重大历史性贡献．
首先在建立天体运动方程上，拉格朗日用他在分析力学中的原理和(16)，(17)式，建立起各类天体的运动方程．其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛应用，此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用，方程在1780年获巴黎科学院奖的论文“彗星在行星作用下的摄动理论研究”(Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes)〔13〕中给出，得到达朗贝尔和拉普拉斯的高度评价．另外在一篇有关三体问题的获奖文章中〔8〕，把三体问题的运动方程组第一次降到七阶．
在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解〔8〕，即拉格朗日平动解．其中两个解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中，永远保持等边三角形．他的这个理论结果在100多年后得到证实． 1907年2月22日，德国海德堡天文台发现了一颗小行星〔后来命名为希腊神话中的大力士阿基里斯(Achilles)，编号588〕，它的位置正好与太阳和木星形成等边三角形．到1970年前，已发现15颗这样的小行星，都以希腊神话中特洛伊(Troy)战争中将帅们的名字命名．有9 颗位于木星轨道上前面60°处的拉格朗日特解附近，名为希腊人(Greek)群；有6颗位于木星轨道上后面60°处的解附近，名为脱罗央(Trojan)群．1970年以后又继续发现40多颗小行星位于此两群内，其中我国紫金山天文台发现四颗，但尚未命名．至于为什么在特解附近仍有小行星，是因为这两个特解是稳定的．1961年又在月球轨道前后发现与地月组成等边三角形解处聚集的流星物质，是拉格朗日特解的又一证明．至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群(三体共线情况)处附近的天体，因为这三个特解不稳定．另外，拉格朗日在一阶摄动理论中也有重要贡献，提出了计算长期摄动方法(《文集》Ⅴ，pp．125—414)，并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理(参见《世界著名科学家传记•天文学家Ⅰ》中“拉普拉斯”条)．此外，拉格朗日级数(8)式在摄动理论中有广泛应用．
在具体天体的运动研究中，拉格朗日也有大量重要贡献，其中大部分是参加巴黎科学院征奖的课题．他的月球运动理论研究论文多次获奖．1763年完成的“月球天平动研究”(Recherches sur laLibration de la lune)〔6〕获1764年度奖，此文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异，但对月球赤道和轨道面的转动规律解释得不够好．后来在1780年完成的论文解决得更好(参见《文集》Ⅴ，pp．5—123)．获1772年度奖的就是著名的三体问题论文〔8〕，也是针对月球运动研究写出的．获1774年度奖的论文为“关于月球运动的长期差”(Sur l’equation séculaire de la lune)〔9〕，其中第一次讨论了地球形状和所有大行星对月球的摄动．关于行星和彗星运动的论文也有两次获奖．1776年度获奖的是他在1775年完成的三篇论文〔10，11，12，〕其中讨论了行星轨道交点和倾角的长期变化对彗星运动的影响．1780年度的获奖论文就是提出著名的拉格朗日行星运动方程的那篇〔13〕．
获1766年度奖的论文是“木星的卫星运动的偏差研究…”(Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…)〔7〕，其中第一次讨论了太阳引力对木星的四个卫星运动的影响，结果比达朗贝尔的更好．
拉格朗日从事的天体力学课题还有很多，如在柏林时期的前半部分，还研究了用三个时刻的观测资料计算彗星轨道的方法(《文集》Ⅳ，pp．439—532)，所得结果成为轨道计算的基础．另外他还得到了一种力学模型——两个不动中心问题的解，这是欧拉已讨论过的，又称为欧拉问题．是拉格朗日推广到存在离心力的情况，故后来又称为拉格朗日问题(《文集》Ⅱ，pp．67—121)．这些模型现在仍在应用．有人用作人造卫星运动的近似力学模型．此外，他在《分析力学》中给出的流体静力学的结果，后来成为讨论天体形状理论的基础．
总的看来，拉格朗日在天体力学的五个奠基者中，所做的历史性贡献仅次于拉普拉斯．他创立的“分析力学”对以后天体力学的发展有深远的影响．
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2009-10-24
规范场论 (Gauge Theory) 是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群的规范场论有时也称为杨-米尔斯理论。物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性—应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等价原理的一个推广。
规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。
规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。
有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。该术语的这个含义不在本条目使用。
[编辑本段]简史
最早包含规范对称性的物理理论是麦克斯韦的电动力学。但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。在爱因斯坦发展广义相对论之后，赫尔曼·魏尔在试图统一广义相对论和电磁学的尝试中，猜想Eichinvarianz或者说尺度（“规范”）变换下的不变性可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，魏尔、Vladimir Fock和Fritz London实现了该思想，但作了一些修改（把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相变—一个U(1)规范对称性），这对一个相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播，参看R.M. P.13, 203。
1950年代，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论作为理解将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。（Ronald Shaw，和Abdus Salam一起工作，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点是使用量子化规范场论。
该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的统一在电弱理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出一个称为渐进自由的特色的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐进自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。
1970年代Michael Atiyah爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，Atiyah的学生Simon Donaldson 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。Michael Freedman采用Donaldson的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴趣。
[编辑本段]电磁学中的简单的规范对称性的例子
电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电压升高相同的电压时，电路的行为完全不变；因为电路中的电压差不变。该事实的一个常见释例是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。
这称为整体规范对称性Trefil,1983。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的，但一旦该点确定了，则该定义必须全局的采用。
相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局部规范对称性。
^ James S. Trefil 1983年, 创造的瞬间。 Scribner, ISBN 0-684-17963-6 92-93页。
[编辑本段]经典规范场论
--------------------------------------------------------------------------------
本节要求一些经典或量子场论的知识，以及拉格朗日量的使用。
本节中的定义：规范群，规范场，相互作用拉格朗日量，规范玻色子
--------------------------------------------------------------------------------
一个例子：标量 O(n) 规范场论
下面解释了局部规范不变性可以从整体对称性质启发式地“导出”，并且解释了它如何导向原来不相互作用的场之间的相互作用。
考虑一个n个不相互作用的标量场的集合，它们有相同的质量m。该系统用一个作用量表示，它是每个标量场φi的作用量之和
拉格朗日量可以简明的写作
这是通过引入一个场的矢量
现在很明显地，拉格朗日量在下面的变换中不变
只要G是一个常数 矩阵，G属于n-乘-n 正交群 O(n)。这是这个特定的拉格朗日量的全局对称性，而对称群经常称为规范群。很巧合的是，诺特定理蕴含着该变换群作用下的不变量导致如下的流的守恒
其中Ta矩阵是SO(n)群的生成元。每个生成元有一个守恒流。
现在，要求这个拉格朗日量必须有局部O(n)-不变性要求G矩阵（原来是常数）必须允许成为时空坐标x的函数。
不幸的是，G矩阵无法“传递”给导数。当G = G(x)，
这意味着定义一个有如下属性的“导数”D
可以验证这样一个“导数”（称为协变导数）是
其中规范场 A(x)定义为有如下变换律的场
而g为耦合常数 - 定义一个相互作用强度的量。
规范场在一点的取值是李代数的一个元素，因此可以展开为
所以相互独立的测度场取值和李代数的生成元一样多。
最后，我们有了一个局部规范不变拉格朗日量
泡利把应用到象Φ这样的场上的变换称为第一类规范变换，而把A中的补偿变换称为第二类规范变换。
费曼的标量玻色子通过规范玻色子相互作用的示意图这个拉格朗日量和初始的全局规范不变的拉格朗日量的区别可以视为相互作用拉格朗日量
这个项作为要求局部规范不变性的结果而引入了n个标量场之间的相互作用。在这个经典场论的量子化版本中，规范场A(x)的量子称为规范玻色子。相互作用拉格朗日量在量子场论中的解释是标量玻色子通过交换这些规范玻色子来相互作用。
规范场的拉格朗日量
我们关于经典规范理论的图像基本完成了，还剩协变导数D的定义，为此我们必须知道规范场 A(x) 在所有时空点的值。它可以通过一个场方程的解给出，而不是手工的设置这个场的值。进一步要求产生这个场方程的拉格朗日量也是局部规范不变的，规范场拉格朗日量的最一般的形式可以（传统地）写作
其中
而迹在场的矢量空间上取。
注意在这个拉格朗日量中，没有一个场Φ其变换抵消A的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典（或者说几何，如果喜欢的话）对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化，这个过程被称为规范固定，但是即使在限制之后，规范变换还是可能的（参看Sakurai， 高等量子力学，1-4节）。
O(n)规范场论的拉格朗日量现在成了
一个简单的例子：电动力学
作为前面章节中发展的形式化表述的简单应用，考虑电动力学的情形，只考虑电子场。产生电子场的狄拉克方程的最简单的作用（传统上）是
该系统的全局对称性是
这里的规范群是U(1)，也就是场的相位角，带一个常数θ。
“局部”化这个对称性意味着用θ(x)取代θ。
一个合适的共变导数是
将“荷” e视为通常的电荷（这也是规范理论中这个术语的使用的来源），而把规范场A(x)视为电磁场的4维矢量势得到一个相互作用拉格朗日量
其中J(x)是通常的电流密度的4矢量。规范原理因而可以视作以一种自然的方式引入了所谓的电磁场到电子场的最小耦合。
为规范场A(x)加入一个拉格朗日量，用场强张量的术语就象在电动力学中一样，可以得到在量子电动力学中作为起点的拉格朗日量。
参看：狄拉克方程，麦克斯韦方程组，量子电动力学
[编辑本段]数学形式化
规范理论通常用微分几何的语言讨论。数学上，一个规范就是某个流形的（局部）坐标系的一个选择。一个规范变换也就是一个坐标变换。
注意，虽然规范理论被联络的研究占据了大部分（主要是因为它主要在高能物理中研究），联络的思想一般不是规范理论的基本或者中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的仿射表示（也就是仿射模）可以分类到一种满足特定属性的Jet丛的截面。有些表示在每一点共变（物理学家称其为第一类规范变换），有些表示象联络形式一样变换（物理学家称其为第二类规范变换）（注意折实一种仿射表示），还有其它更一般的表示，例如BF理论中的B场。当然，我们可以考虑更一般的表示（实现），但那很复杂。但是，非线性σ模型非线性地变换，所以它们也有用处。
若我们有一个主丛P其基空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。
我们可以在该主丛上定义一个联络（规范联络），这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为
其中d代表外微分而代表楔积。
无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下，
其中是李括号。
一个有趣的结果是，若，则 其中D是共变导数
而且，，这意味着F共变地变换。
需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成；例如，当基流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。参看瞬子（instanton）中的例子。
杨-米尔斯作用现在可以如下给出
其中 * 代表霍奇对偶而积分和在微分几何中的定义一样。
一个规范-不变量也就是在规范变换下的不变量的例子是威尔逊环（Wilson loop），它定义在闭合路径γ上，定义如下：
其中χ是复表示ρ的特征标；而表示路径排序算子。
[编辑本段]规范理论的量子化
规范理论可以用能够应用到任何量子场论的方法的特殊化来量子化。但是，因为规范约束（参看上面的数学表述一节）所带来的微妙性，存在很多需要解决的理论问题，他们在其他场论中并不存在。同时，规范理论的更丰富的结构使得一些计算得以简化：例如Ward恒等式建立了不同的重正化常数的联系。
方法和目标
第一个量子化的规范理论是量子电动力学（QED）。为此发展的最初的方法涉及规范固定和施行标准量子化。Gupta-Bleuler方法也被发展出来用于处理这个问题。非交换规范理论现在用很多不同的方法处理。量子化的方法在量子化条目有介绍。
量子化的要点在于能够计算对于理论所允许的各种进程的量子振幅。技术上，它们退化为在真空状态下的特定相关系数函数的计算。这涉及到理论的一个重正化。
当理论的巡行耦合足够小时，所有需要计算的量可以用微扰理论计算。设计用于简化这样的计算的量子化方案（例如标准量子化）可以称为微扰量子化方案。现在一些这种方法导向了规范理论的更精确的试验测试。
但是，在多数规范理论中，有很多有趣的问题是非微扰的。设计用于这些问题的量子化方案可以称为非微扰量子化方案。这样的方案的精确计算经常需要超级计算，因而目前比其他方案的发展要少。
反常
一些理论经典的对称性在量子理论中不再成立—这个现象称为一个反常。最出名的包括：
共形反常，它导致了一个跑动耦合常数。在QED中，这导致了朗道奇点（Landau pole）。在量子色动力学（QCD）中，这导致渐进自由。
手征反常，出现在费米子手性或者矢量场论中。这通过瞬子的概念和拓扑有紧密的关联。
在QCD中，这个反常导致了π介子衰变成为两个质子。
规范反常，在任何自洽的物理理论中必须消去。在电弱理论中，这个消去要求夸克和轻子数量相等。这被称为GIM机制。本回答被网友采纳
规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。
规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。
有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。该术语的这个含义不在本条目使用。
[编辑本段]简史
最早包含规范对称性的物理理论是麦克斯韦的电动力学。但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。在爱因斯坦发展广义相对论之后，赫尔曼·魏尔在试图统一广义相对论和电磁学的尝试中，猜想Eichinvarianz或者说尺度（“规范”）变换下的不变性可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，魏尔、Vladimir Fock和Fritz London实现了该思想，但作了一些修改（把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相变—一个U(1)规范对称性），这对一个相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播，参看R.M. P.13, 203。
1950年代，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论作为理解将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。（Ronald Shaw，和Abdus Salam一起工作，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点是使用量子化规范场论。
该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的统一在电弱理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出一个称为渐进自由的特色的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐进自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。
1970年代Michael Atiyah爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，Atiyah的学生Simon Donaldson 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。Michael Freedman采用Donaldson的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴趣。
[编辑本段]电磁学中的简单的规范对称性的例子
电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电压升高相同的电压时，电路的行为完全不变；因为电路中的电压差不变。该事实的一个常见释例是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。
这称为整体规范对称性Trefil,1983。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的，但一旦该点确定了，则该定义必须全局的采用。
相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局部规范对称性。
^ James S. Trefil 1983年, 创造的瞬间。 Scribner, ISBN 0-684-17963-6 92-93页。
[编辑本段]经典规范场论
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本节要求一些经典或量子场论的知识，以及拉格朗日量的使用。
本节中的定义：规范群，规范场，相互作用拉格朗日量，规范玻色子
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一个例子：标量 O(n) 规范场论
下面解释了局部规范不变性可以从整体对称性质启发式地“导出”，并且解释了它如何导向原来不相互作用的场之间的相互作用。
考虑一个n个不相互作用的标量场的集合，它们有相同的质量m。该系统用一个作用量表示，它是每个标量场φi的作用量之和
拉格朗日量可以简明的写作
这是通过引入一个场的矢量
现在很明显地，拉格朗日量在下面的变换中不变
只要G是一个常数 矩阵，G属于n-乘-n 正交群 O(n)。这是这个特定的拉格朗日量的全局对称性，而对称群经常称为规范群。很巧合的是，诺特定理蕴含着该变换群作用下的不变量导致如下的流的守恒
其中Ta矩阵是SO(n)群的生成元。每个生成元有一个守恒流。
现在，要求这个拉格朗日量必须有局部O(n)-不变性要求G矩阵（原来是常数）必须允许成为时空坐标x的函数。
不幸的是，G矩阵无法“传递”给导数。当G = G(x)，
这意味着定义一个有如下属性的“导数”D
可以验证这样一个“导数”（称为协变导数）是
其中规范场 A(x)定义为有如下变换律的场
而g为耦合常数 - 定义一个相互作用强度的量。
规范场在一点的取值是李代数的一个元素，因此可以展开为
所以相互独立的测度场取值和李代数的生成元一样多。
最后，我们有了一个局部规范不变拉格朗日量
泡利把应用到象Φ这样的场上的变换称为第一类规范变换，而把A中的补偿变换称为第二类规范变换。
费曼的标量玻色子通过规范玻色子相互作用的示意图这个拉格朗日量和初始的全局规范不变的拉格朗日量的区别可以视为相互作用拉格朗日量
这个项作为要求局部规范不变性的结果而引入了n个标量场之间的相互作用。在这个经典场论的量子化版本中，规范场A(x)的量子称为规范玻色子。相互作用拉格朗日量在量子场论中的解释是标量玻色子通过交换这些规范玻色子来相互作用。
规范场的拉格朗日量
我们关于经典规范理论的图像基本完成了，还剩协变导数D的定义，为此我们必须知道规范场 A(x) 在所有时空点的值。它可以通过一个场方程的解给出，而不是手工的设置这个场的值。进一步要求产生这个场方程的拉格朗日量也是局部规范不变的，规范场拉格朗日量的最一般的形式可以（传统地）写作
其中
而迹在场的矢量空间上取。
注意在这个拉格朗日量中，没有一个场Φ其变换抵消A的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典（或者说几何，如果喜欢的话）对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化，这个过程被称为规范固定，但是即使在限制之后，规范变换还是可能的（参看Sakurai， 高等量子力学，1-4节）。
O(n)规范场论的拉格朗日量现在成了
一个简单的例子：电动力学
作为前面章节中发展的形式化表述的简单应用，考虑电动力学的情形，只考虑电子场。产生电子场的狄拉克方程的最简单的作用（传统上）是
该系统的全局对称性是
这里的规范群是U(1)，也就是场的相位角，带一个常数θ。
“局部”化这个对称性意味着用θ(x)取代θ。
一个合适的共变导数是
将“荷” e视为通常的电荷（这也是规范理论中这个术语的使用的来源），而把规范场A(x)视为电磁场的4维矢量势得到一个相互作用拉格朗日量
其中J(x)是通常的电流密度的4矢量。规范原理因而可以视作以一种自然的方式引入了所谓的电磁场到电子场的最小耦合。
为规范场A(x)加入一个拉格朗日量，用场强张量的术语就象在电动力学中一样，可以得到在量子电动力学中作为起点的拉格朗日量。
参看：狄拉克方程，麦克斯韦方程组，量子电动力学
[编辑本段]数学形式化
规范理论通常用微分几何的语言讨论。数学上，一个规范就是某个流形的（局部）坐标系的一个选择。一个规范变换也就是一个坐标变换。
注意，虽然规范理论被联络的研究占据了大部分（主要是因为它主要在高能物理中研究），联络的思想一般不是规范理论的基本或者中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的仿射表示（也就是仿射模）可以分类到一种满足特定属性的Jet丛的截面。有些表示在每一点共变（物理学家称其为第一类规范变换），有些表示象联络形式一样变换（物理学家称其为第二类规范变换）（注意折实一种仿射表示），还有其它更一般的表示，例如BF理论中的B场。当然，我们可以考虑更一般的表示（实现），但那很复杂。但是，非线性σ模型非线性地变换，所以它们也有用处。
若我们有一个主丛P其基空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。
我们可以在该主丛上定义一个联络（规范联络），这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为
其中d代表外微分而代表楔积。
无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下，
其中是李括号。
一个有趣的结果是，若，则 其中D是共变导数
而且，，这意味着F共变地变换。
需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成；例如，当基流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。参看瞬子（instanton）中的例子。
杨-米尔斯作用现在可以如下给出
其中 * 代表霍奇对偶而积分和在微分几何中的定义一样。
一个规范-不变量也就是在规范变换下的不变量的例子是威尔逊环（Wilson loop），它定义在闭合路径γ上，定义如下：
其中χ是复表示ρ的特征标；而表示路径排序算子。
[编辑本段]规范理论的量子化
规范理论可以用能够应用到任何量子场论的方法的特殊化来量子化。但是，因为规范约束（参看上面的数学表述一节）所带来的微妙性，存在很多需要解决的理论问题，他们在其他场论中并不存在。同时，规范理论的更丰富的结构使得一些计算得以简化：例如Ward恒等式建立了不同的重正化常数的联系。
方法和目标
第一个量子化的规范理论是量子电动力学（QED）。为此发展的最初的方法涉及规范固定和施行标准量子化。Gupta-Bleuler方法也被发展出来用于处理这个问题。非交换规范理论现在用很多不同的方法处理。量子化的方法在量子化条目有介绍。
量子化的要点在于能够计算对于理论所允许的各种进程的量子振幅。技术上，它们退化为在真空状态下的特定相关系数函数的计算。这涉及到理论的一个重正化。
当理论的巡行耦合足够小时，所有需要计算的量可以用微扰理论计算。设计用于简化这样的计算的量子化方案（例如标准量子化）可以称为微扰量子化方案。现在一些这种方法导向了规范理论的更精确的试验测试。
但是，在多数规范理论中，有很多有趣的问题是非微扰的。设计用于这些问题的量子化方案可以称为非微扰量子化方案。这样的方案的精确计算经常需要超级计算，因而目前比其他方案的发展要少。
反常
一些理论经典的对称性在量子理论中不再成立—这个现象称为一个反常。最出名的包括：
共形反常，它导致了一个跑动耦合常数。在QED中，这导致了朗道奇点（Landau pole）。在量子色动力学（QCD）中，这导致渐进自由。
手征反常，出现在费米子手性或者矢量场论中。这通过瞬子的概念和拓扑有紧密的关联。
在QCD中，这个反常导致了π介子衰变成为两个质子。
规范反常，在任何自洽的物理理论中必须消去。在电弱理论中，这个消去要求夸克和轻子数量相等。这被称为GIM机制。本回答被网友采纳
第2个回答 2009-10-24
四平方和定理说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。
注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。
第3个回答 2009-10-22
每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8n+ 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
第4个回答 2009-10-21
(拉格朗日四平方和定理)
每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8n+ 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
这个就是所谓的拉格朗日猜想
每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8n+ 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
这个就是所谓的拉格朗日猜想