您好： 均值不等式就是几个平均值之间的不等关系，其中它的核心是几何——算术平均不等式，这个最常用，因此题目都是围绕着这个不等式出的。均值不等式另外两个（分别是调和——几何平均不等式和算术——平方平均不等式）都可以由几何——算术平均不等式推出，可见它十分重要。 几何——算术平均不等式，就是任意n个正数乘积再开n次根号永远小于等于它们的算术平均值，常用的是n=2和n=3的情况，另外其它情况也要看情况应用。 前面说了这么多，下面进入正题，均值不等式的核心思想是：拼凑，题目一般会给出需要比较的两个式子，我们的任务就是将一个变成另外一个，手段就是把乘积变成和，把和变成乘积，即均值不等式。与其同等重要的是不等式应用条件和取等条件，这是不可忽视的一环，有时这可以决定均值不等式解题的成败。下面就是例题了。 例1：已知a,b,c都是正数，求证a+b+c≥3倍(3次根号下abc) （这其实是几何——算术平均不等式n=3的情况，下面我们利用n=2的不等式去证明，即利用(a+b)/2≥根号ab） 目标是凑出abc乘积项，但是我们只能把两个数的和变成他们的乘积，而等式左边是三个数的和，因此缺少一些东西。我们采取填项的方法，又不能引入其他形式的式子，因此我们在左边的式子加3次根号下abc 这样我们就需要证明a+b+c+(3次根号abc)≥4倍(3次根号下abc) 这样，a+b≥2倍根号ab，c+(3次根号abc)≥2倍根号下(3次根号abc^4) 这样4项变成两项，再用一次不等式，就得到结论。 千万别忘了验证等号取等条件，a=b=c，在三次使用的时候都没有问题。 例2：x>0，求x^2+2/x的最小值。 这也是一个典型问题，因为求最小值，还是要放缩出定值出来，想如果把它们变成乘积的形式，恰好造成约分，那么最小值也就出来了，但是他们的次数之和不是0，因此我们要改造一下。 x^2+2/x=x^2+1/x+1/x≥3倍(3次根号下x^2*(1/x)*(1/x))=3 因此它的最小值是3，等号取到条件是x^2=1/x，即x=1 这个拆项方法很常用，特别是求最大最小值的时候。 思考题1：0<x<1，求最大值 x^2(1-x) 思考题2：a>b>0，求最小值 (根号2)a^3+4/(b(a-b)) 例3：a+b=1，a和b均是正数，求证1/a+1/b≥4 这个题有多种解法，可以将1/a+1/b通分，但这里介绍一个更常用的解法。 注意到a+b=1，而1乘以任何数等于它的本身 所以1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)=2+a/b+b/a≥2+2倍根号下(a/b*b/a)=4 这种办法也称为贴“1”法。 例4：a和b同号（即ab>0），求a/(a+b)+b/(2a+b)的最小值。 分析：只需要凑出定值即可，但是直接将这两个式子乘起来并不能得到定值。采取添项的方法。 a/(a+b)+b/(2a+b)=a/(a+b)+1+b/(2a+b)+1-2=2a+b/(a+b)+2(a+b)/(2a+b)-2≥2倍根号2-2 高中均值不等式不是考试重点，因此没有必要学得太深，更没必要怕它。考试中，均值不等式主要用来求最值或者放缩，目的是为了减小计算量，很少单独出证明题（除非是选修4-5），没必要太紧张。 作为回答的结束，补充两个思考题吧。 思考题3：设b>0，求b^3/(b+1)^4的最大值。 思考题4：请找出下面做法的错误，并给出正确做法。 题目：0<x<1，求x(1-x^2)的最大值。 解：因为x(1-x^2)=x(1+x)(2-2x)/2 所以它≤(1/2)*((x+1-x+2-2x)/3)^3=1/2 但是实际上这个的最小值却是9分之2倍根号3，请指出错误。 呵呵，本人只能想到这些了，希望能帮到你。
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