曲面x^3+y^3+z^3=3xyz ，求先对x后对y的二阶偏导

Question

如题所述

Answer 1

x^3+y^3+z^3 = 3xyz (1)
式(1)两边同时对 x 求偏导，得
3x^2 + 3z^2 ∂z/∂x = 3yz + 3xy ∂z/∂x
(z^2-xy)∂z/∂x = yz-x^2 (2)
∂z/∂x = (yz-x^2)/(z^2-xy); (3)
式(1)两边同时对 y 求偏导，得
3y^2 + 3z^2 ∂z/∂y = 3xz + 3xy ∂z/∂y
∂z/∂y = (xz-y^2)/(z^2-xy). (4)
式(2)两边同时对 y 求偏导，得
(2z∂z/∂y-x)∂z/∂x + (z^2-xy)∂^2z/∂x∂y = z+y∂z/∂y
∂^2z/∂x∂y = [z+y∂z/∂y-(2z∂z/∂y-x)∂z/∂x]/(z^2-xy)
式 (3) (4)代入上式得
∂^2z/∂x∂y = {z+y(xz-y^2)/(z^2-xy)-[2z(xz-y^2)/(z^2-xy)-x](yz-x^2)/(z^2-xy)}/(z^2-xy)
= {z(z^2-xy)^2+y(xz-y^2)(z^2-xy)-[2z(xz-y^2)-x(z^2-xy)](yz-x^2)}/(z^2-xy)^3
化简即得。