24. 已知，如图①，∠MON=60°，点A、B为射线OM，ON上的动点（点A、B不与点O重合），且AB=4√3 ，

Question

在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°。
⑴ 求AP的长
平均数是不是把已知数的总和相加除以2啊？

Answer 1

一分析：（1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=
1
2
AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度；
（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上；
（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB．①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值．

Answer 2

已知AP=BP,则△APB为等腰三角形，作PC垂直于AB于C，则AC=BC=2√3(三线定理)，由此解直角三角形得AP=4