如图,点e在正方形abcd边bc上任意一点,cf平分正方形的外角∠dcg,ae=af.求证:ae垂直ef

Question

如题所述

Answer 1

【是已知AE=EF，求证：AE⊥EF】

证明：【用同一法】

在CG上截取CN=BE，作MN⊥CG，交CF于M，连接EM

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠BCD=∠B=∠ENM=90°

∵CF平分∠DCG

∴∠MCN=45°

∴△CNM是等腰直角三角形

∴MN=CN=BE

∵EN=EC+CN=EC+BE=BC=AB

∴△ENM≌△ABE（SAS）

∴AE=EM，∠BAE=∠NEM

∵∠BAE+∠AEB=90°

∴∠NEM+∠AEB=90°

∴∠AEM=90°，即AE⊥EM

∵AE=EF

∴EF=EM

作EP⊥CF于P

∵EF=EM，EP=EP

∴Rt△EPF≌Rt△EPM（HL）

∴PM=PF

∵点F和点M在直线PF上，且在P点的同侧

∴点F和点M是同一点

∴AE⊥EF

Answer 2

在AB上取一点H，使BH=BE，则AH=EC，△BEH等腰直角三角形，∠BHE＝45°
∴∠AHE=∠ECF=135°
∵AE⊥EF
∴∠AEB+∠FEC=90°
∵∠AEB+∠BAE=90°
∴∠BAE=∠FEC
∴△AHE≌△ECF
∴AE=EF