首先证明A、B、C、D中必有一个直角。
用反证法。假设A、B、C、D都不是直角。
过E作AB的垂线段EP,使得P与F在AB同侧,且EP=ED。连接FP。
则角FEP和角HED同为角AEF的余角,因而相等。又因为EF=EH,EP=ED,所以三角形EPF和EDH全等。从而FP=HD=EA,且角FPE=角B。
此时,因为角B不是直角,所以FP是从F到EP作的斜线,其长度应该大于F到EP的距离。因此,F到EP的距离小于A到EP的距离(后者是AE=DH=FP)。
作射线AX平行于EP,使得X与F在AE的同侧。则F与EP在AX的同侧,因为在AX另一侧的点到EP的距离大于AE。这样,射线AF在直角EAX的内部,于是(原先的)角A是锐角。
同理,B、C、D都是锐角。但是这与四边形内角和公式矛盾(四锐角之和小于360度)。
现在,A、B、C、D中必有一个直角。不妨设为A。这样,角AEF和角BFG同为角AFE的余角,从而相等。而EF=FG,AE=BF,所以三角形AEF和BFG全等。于是,角B也是直角。如此类推,四个内角均为直角,所以ABCD是矩形。但是AB=AF+BF=BG+GC=BC,所以它是正方形。
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