设二维随机变量(X,Y)具有密度函数 f(x,y)=6e^-2x-3y （x>0,y>0）;f(x,y)=0 （其他）

Question

设二维随机变量(X,Y)具有密度函数 f(x,y)=6e^-2x-3y （x>0,y>0）;f(x,y)=0 （其他） 求随机变量X和Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y)。求详细过程，不要只有答案。
以及Z=2X+Y的密度函数fZ（z）。

Answer 1

fX(x)=∫ {0到正无穷} f(x,y) dy
=∫ {0到正无穷} -2[e^(-2x)] d[e^(-3y)]
=2e^(-2x) ,x>0

fX(x)=∫ {0到正无穷} f(x,y) dx
=∫ {0到正无穷} -3[e^(-3y)] d[e^(-2x)]
=3e^(-3x) ,y>0

FZ(z)=P{2X+Y<=z}
当z<0时，P{2X+Y<=z} = 0
当z>0时，P{2X+Y<=z} = ∫ {0到z/2} dx ∫ {0到-2x+z} f(x,y) dy
=1 + (1/2)[e^(-3z)] - (3/2)[e^(-z)]
fZ(z)=FZ'(z)
=(3/2) [e^(-z) - e^(-3z)] ,z>0