设 f(x)=e^(x^2) ,试求f(x)在 x_0=1 的泰特展开的3次多项

Question

如题所述

Answer 1

首先，我们需要计算f(x)在x=1处的前三阶导数。对于f(x)=e^(x^2)，我们可以使用链式法则和幂函数的导数规则来计算：

f(x) = e^(x^2)
f'(x) = 2x e^(x^2)
f''(x) = (2x)^2 e^(x^2) + 2 e^(x^2) = 4x^2 e^(x^2) + 2 e^(x^2)
f'''(x) = 8x e^(x^2) + 8x^3 e^(x^2)
接下来，我们可以将这些导数代入泰勒展开式中，得到f(x)在x=1处的3次泰勒展开式：
f(1) = e^(1^2) = e
f(x) ≈ f(1) + f'(1)(x-1) + f''(1)(x-1)^2/2! + f'''(1)(x-1)^3/3!
≈ e + 2e(x-1) + (4+2e)(x-1)^2/2! + (8e+8)(x-1)^3/3!
化简后，我们得到：
f(x) ≈ e + 2e(x-1) + (2x^2+1)e(x-1)^2 + (4x^3+4x)e(x-1)^3/3
因此，f(x)在x=1处的3次泰勒展开式为：
f(x) ≈ e + 2e(x-1) + (2x^2+1)e(x-1)^2 + (4x^3+4x)e(x-1)^3/3