一足够长的矩形区域abcd内有垂直纸面向外的匀强磁场

Question

24．（20分）一足够长的矩形区域abcd内有垂直纸面向外的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，紧邻磁场左边界有一个平行板电容器，M、N两板分别接稳恒电源正负极，板长为L。一质量为m，带电量为＋q的粒子从ab边缘上一点由粒子源释放并加速后在A点以速度v0平行ab边进入磁场，恰从ad边中点O离开磁场同时由N板右边缘进入电场。离开磁场时速度方向与ad边夹角为30°，如图所示。最后粒子从M板左边缘平行极板离开电场（粒子重力不计）。
　⑴磁感应强度B与电场强度E的比值；
　⑵MN两板间电势差；
　⑶若粒子仍从M板左边缘以离开电场的速度大小但反向进入电场，则粒子在电场和磁场中运动时间为多少。

Answer 1

(1)粒子在磁场中运动的半径为R，则R=L/2-Rsin30 由此得R=L/3
又有R=mv0/qB
由上二式得B=3mv0/qL
粒子进入电场运动时间为t=L/v0sin30=2L/v0
竖直方向初速度vy0=v0cos30 竖直方向末速度为零。加速度为a=qE/m
故有：0=v0cos30-at
0=v0cos30-(qE/m)*(2L/v0)
E=√3mv0^2/4qL
所以B/E=4√3/v0
(2)qU=m(V0CON30)^2/2
U=3mv0^2/8q
(3)粒子在电场中运动的时间 t1=L/v0sin30=2L/v0
在磁场中运动的轨迹，由几何知识可知为周长的2/3.时间t2=2T/3
T=2πR/V0=2πm/qB
所以 t2=4πm/3qB=4πL/9v0

Answer 2

粒子进入磁场，半径R=mv0/qB。做A点和O点速度的垂线，两垂线的交点就是圆周运动的圆心。则R+R/2=L/2，即3R/2=L/2，R=L/3。则B=mv0/qR=3mv0/qL
粒子进入电场，在水平方向匀速直线运动，竖直方向匀减速运动。进入磁场时，水平方向速度为v0sin30=v0/2（这也是粒子飞出磁场的速度），竖直方向速度为v0*sqrt(3)/2。用动能定理： -qEL=0.5mv0^2/4-0.5mv0^2，即3mv0^2/8=qEL，则E=3mv0^2/8qL，B与E的比值为1:v0/8=8:v0
电势差U=EL=3mv0^2/8q
3、粒子以v0/2进入电场。在电场中的时间t1=L/(v0/2)=2L/v0。竖直方向加速=qE/m=3v0^2/8L，则竖直方向速度=3v0/4。则粒子进入磁场的速度方向与竖直方向夹角α：tanα=(v0/2)/(3v0/4)=2/3。即圆轨道的圆心角为2atan(2/3)。则粒子在磁场中的时间t2=2αm/qB=2αR/v0=2αL/3v0=2atan(2/3)L/3v0
则总时间为2L/v0(1+2atan(2/3)/3)