初三数学

Question

如图，抛物线与y轴交于点A（0,4），与x轴交于B、C两点，其中OB、OC是方程x^2-10x+16=0两根，且OB<OC

（1）求抛物线的解析式
（2）直线AC上是否存在点D，使△BCD为直角三角形。若存在，求所有D点坐标，反之说理。
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点（A点除外），连接PA、PC，若设△PAC的面积为S，P点横坐标为t，则S在何范围内时，相应的点P有且只有1个

Answer 1

其实有两种情况，题目所给的图只画出一种情况，那么就依题目所说的那种情况来说吧：

第（1）个问题，将A(0,4)、B(-2,0)、C(8,0)代入一般函数式，可得抛物线方程，如图；

第（2）个问题，只有一个点符合，且该点与A重合；

第（3）个问题，比较难，根本不是初三的学生能做出的，说一下思路吧：连接AC，在抛物线上方作一条平行于AC的抛物线的切线，以AC为对称轴，作出这条切线的对称线，交抛物线于E点，经计算E点和B点重合，则说明不存在这样面积s，使得P点是唯一的。（若P在上面所说的两条直线上，则P点有两个——B和那个切点，若P点在这两条直线之间，则P有三个）。我这样说不知你能明白吗，这里用的原理是“同底等高（或同高）的三角形面积相等”。

Answer 2

解：
（1）
解方程x^2-10x+16=0
得x1=2，x2=8
∵OB<OC，且B在第二象限，C在第一象限
∴B（-2，0），C（8，0）
设抛物线解析式为y=ax^2+bx+c
把A(4,0)，B（-2，0），C（8，0）代入上式得a=-1/4，b=3/2，c=4
∴y=-1/4x^2+3/2x+4

（2）
设AC：y=kx+d（前面用过b了，所以这里不用b）
把A（4,0），C（8,0）代入上式得k=-1/2，d=4
∴AC：y=-1/2x+4
设点D（a，-1/2a+4）
当三角形BCD为直角三角形时，过点D作DE⊥x轴，交x轴与点E
在Rt△BCD中，由射影定理（不懂可追问）得DE^2=BD·CD(线段的长度=大刻度-小刻度，不懂可追问)
（-1/2a+4）^2=[a-(-2)]·(8-a)
解得a1=8（与点C重合，不符合题意，舍去），a2=0
∴D（0,4）
即点D与点A重合

（3）相当难，请稍等，稍后回答。本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

解：（1）解方程X^2-10X+16=0得：
x1=2, x2=8
联系图形， 所以B（—2,0），C（8,0）
又因为A（0,4） 设抛物线解析式为：y = ax^2 + bx + c
联系ABC三点解得：
解析式为： y=-1/4x^2+3/2x+4
(2) 易知AC方程为y=-1/2x+4
假设存在D（x,-1/2x+4）满足题意，则
根据BD，CD两点求出他们的方程
再根据两直线垂直的条件k1·k2=－1求出D点坐标；
（3）P点横坐标为t，可根据抛物线求出他的纵坐标，
再根据两点距离可求三角形的面积，
再利用P点的解只有一个的条件，求出S的范围。。。

Answer 4

解：
（1）
解方程x^2-10x+16=0
得x1=2，x2=8
∵OB<OC
∴B（-2，0），C（8，0）
设抛物线解析式为y=ax^2+bx+c
把A(4,0)，B（-2，0），C（8，0）代入上式得
a=-1/4，b=3/2，c=4
∴y=-1/4x^2+3/2x+4

（2）设AC：y=kx+d
把A（4,0），C（8,0）
∴AC：y=-1/2x+4
设点D（a，-1/2a+4）
当三角形BCD为直角三角形时，过点D作DE⊥x轴，交x轴与点E
（-1/2a+4）^2=[a-(-2)]·(8-a)
解得a1=8 a2=0
∴D（0,4）
即点D与点A重合
(3)
15<S<20
可求顶点为M（3,25/4)
作MH垂直于AC于H
求出MH=3/2倍根号5
而AB垂直AC,且AB=2倍根号5，AC=4倍根号5
P在BA上到B的距离小于2分之根号5时，P点唯一
即S大于1/2*4根号5*3/2根号5=15
小于1/2*4根号5*2根号5=20
所以15<S<2O