七年级期末考试名校数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小
题的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.如图，点 O 在直线 AB 上，若∠1＝42°，则∠2 的大小为（ ）
A.48° B.58° C.138° D.148°
2.为了测算一块 600 亩试验田里新培育的杂交水稻的产量，随机对其中的 10 亩杂交水稻的产量进行了检测，在这个问题中
10 是（ ）
A.个体B.总体
C.总体的样本D.样本容量
3. 的算术平方根为（
）
A.±4 B.±
C.D.﹣a
4.，是二元一次方程 2x+ay＝3 的一个解，则 a 的值为（ ）
A.3B.C.1D.﹣1
5.若点 P 在第二象限，它到 x 轴，y 轴的距离分别为 3，1，则点 P 的坐标为（ ）
A.（1，3） B.（﹣3，1）
C.（﹣1，3） D.（3，﹣1）
6.（4 分）如图，点 E 在 AB 的延长线上，下列条件中能判断
AD∥BC 的是（ ）
A.∠1＝∠2
B.∠3＝∠4
C.∠C＝∠CBE
D.∠C+∠ABC＝180°
7.下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.把一些书分给几名同学，若________；若每人分 11 本，则不够.依题意，设有 x 名同学，可列不等式 9x+7＜11x，则横线上的信息可以是（ ）
A.每人分 7 本，则可多分 9 个人
B.每人分 7 本，则剩余 9 本
C.每人分 9 本，则剩余 7 本
D.其中一个人分 7 本，则其他同学每人可分 9 本
9.已知点 P（a+1，2a﹣3）在第四象限，则 a 的取值范围是（ ）
A.a＜﹣1 B.﹣1＜a＜ C.﹣＜a＜1 D.a＞
10.已知 a，b，c 都是实数，则关于三个不等式：a＞b，a＞b+c， c＜0 的逻辑关系的表述，下列正确的是（ ）
A.因为 a＞b+c，所以 a＞b，c＜0
B.因为 a＞b+c，c＜0，所以 a＞b
C.因为 a＞b，a＞b+c，所以 c＜0
D.因为 a＞b，c＜0，所以 a＞b+c
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.请写出一个大于 3 的无理数 .
12.专家提醒：目前我国从事脑力劳动的人群中，“三高”（高血压，高血脂，高血糖）现象必须引起重视.这个结论______ 是通过 得到的.
13.不等式 2x+1≥3 的解集是 .
14.已知 a，b 是两个连续整数，且 a＜＜b，则 a+b＝ .
15.若不等式组的解集为 x＜3k﹣3，则 k 的取值范围是 .
16.若二元一次方程组的解中 x 与 y 的值相等，则 a
＝ .
三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（8 分）计算：
18.（8 分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表
示出来.
19.（8 分）如图，将平行四边形 ABCD 向左平移 3 个单位长度，然后向上平移 2 个单位长度，可以得到平行四边形
A′B′C′D′，画出平移后的图形，并指出其各个顶点的坐标.
20.（8 分）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.如图 1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项，把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是请你根据图 2 所示的算筹图，列出方程组，并
求解.
21.（8 分）某地为提倡节约用水，准备实行“阶梯水价”，每户居民每月用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出部分加价收费.为更好地决策，当地自来水公司随机抽取部分居民某月的用水量数据，并绘制了如图 1 和图 2 所示的不完整的统计图（每组数据均只含最大值而不含最小值），请根据题意，
解答下列问题.
（Ⅰ）此次调查抽取了多少户居民的用水量数据？
（Ⅱ）补全频数分布直方图，求图 2 中“25﹣30”部分对应的扇形圆心角的度数；
（Ⅲ）如果自来水公司将基本用水量定为每户每月 25 吨，那
么该地 20 万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
22.（10 分）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 a 折收费；在乙商场累计购物超过 50 元后，超过 50 元的部分按 95%收费.若王老师到甲商场购物 150 元，实际支付 145 元.
（1）求 a 的值；（2）请你分析顾客到哪家商场购物更合算？
23.（10 分）如图，已知 CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2.试说明 DF∥AE.请你完成下列填空，把证明过程补充完整.
证明：∵ ，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90° （ ）.
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°.
又∵∠1＝∠2， ∴ （ ）， ∴DF∥AE （ ）.
24.（12 分）如图，点 C 在∠AOB 的一边 OA 上，过点 C 的直线 DE 平行直线 OB，CF 平分∠ACD，CG⊥CF 于点 C.
（Ⅰ）若∠O＝50°，求∠ACE 的度数；
（Ⅱ）求证：CG 平分∠OCD；
（Ⅲ）当∠O 为多少度时，CD 平分∠OCF，并说明理由.
25.（14 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P（a，b），若点 P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中 k 为常数，且 k≠0），则称点 P′为点 P 的“k 属派生点”.例如：P（1，4）的“2 属派生点” 为 P′（1+2×4，2×1+4），即 P′（9，6）.
（Ⅰ）点 P（﹣2，3）的“3 属派生点”P′的坐标为 ；
（Ⅱ）若点 P 的“5 属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点 P 的坐标；
（Ⅲ）若点 P 在 x 轴的正半轴上，点 P 的“k 属派生点”为 P′
点，且线段 PP′的长度为线段 OP 长度的 2 倍，求 k 的值.
参考答案
C
【分析】根据邻补角的性质解答即可.
【解答】∵∠1＝42°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣42°＝138°，故选：C.
【点评】此题考查角的概念，关键是根据邻补角的性质解答.
D
【分析】根据总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量可得答案.
【解答】为了测算一块 600 亩试验田里新培育的杂交水稻的产量，随机对其中的 10 亩杂交水稻的产量进行了检测，在这个问题中，数字 10 是样本容量，故选：D.
【点评】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是掌握定义.
C
【分析】根据算术平方根的定义得出即可.
【解答】 的算术平方根是 ，故选：C.
【点评】本题考查了算术平方根，能熟记算术平方根的定义是解此题的关键.
B
【分析】将 x 与 y 的值代入方程即可求出 a 的值.
【解答】将 x＝1，y＝3 代入 2x+ay＝3 得：2+3a＝3，解得：a＝ .
故选：B. 【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
C
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于横坐标的长度求出点 P 的横坐标与纵坐标，从而得解.
【解答】∵点 P 在第二象限且到 x 轴，y 轴的距离分别为 3，1，
∴点 P 的横坐标为﹣1，纵坐标为 3，
∴点 P 的坐标为（﹣1，3）.
故选：C.
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键.
6.A
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可.
【解答】当∠1＝∠2 时，AD∥BC，故 A 选项正确；
当∠3＝∠4 或∠C＝∠CBE 或∠C+∠ABC＝180°时，AB∥CD，故 B、C、D 选项错误；
故选：A.
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
7. D
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.
【解答】 ＝5，故选项 A 错误，
＝﹣2，故选项 B 错误，
已经是最简的三次根式，故选项 C 错误，
＝±3，故选项 D 正确，故选：D.
【点评】本题考查立方根、平方根、算术平方根，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.
8.C
【分析】根据不等式表示的意义解答即可.
【解答】由不等式 9x+7＜11x，可得：把一些书分给几名同学，
若每人分 9 本，则剩余 7 本；若每人分 11 本，则不够；故选：C. 【点评】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系.
9. B
【分析】根据第四象限点的坐标符号特点得出关于 a 的不等式组，解不等式组即可得.
【解答】∵点 P（a+1，2a﹣3）在第四象限，
∴，
解不等式①，得：a＞﹣1，解不等式②，得：a ，
∴不等式组的解集为﹣1＜a＜ ，故选：B.
【点评】本题考查的是坐标系内点的坐标符号特点和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
10. D
【解答】A、例如 a＝5，b＝1，c＝2，满足条件 a＞b+c，但是不满足结论 c＜0，故本选项错误；
例如 a＝5，b＝8，c＝﹣6，满足条件 a＞b+c，c＜0，但是不满足结论 a＞b，故本选项错误；
例如 a＝5，b＝1，c＝2，满足条件 a＞b，a＞b+c，但是不满足结论 c＜0，故本选项错误；
∵c＜0，∴a+c＜a，即 a＞a+c，
∵a＞b，∴a+c＞b+c，
∴a＞b+c，故本选项正确.
故选：D.
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的传递性：若 a＞b，b＞c，则 a＞c.
11.
【分析】根据这个数即要比 3 大又是无理数，解答出即可.
【解答】由题意可得，
＞3，并且 是无理数.
故答案为： .
【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.
12.抽样调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似.
【解答】解：这个调查个体数量多，范围广，工作量大，不宜采用普查，只能采用抽样调查.故填抽样调查.
【点评】本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析.
13.x≥1
【分析】直接利用解一元一次不等式的方法即可得出结论.
【解答】移项得，2x≥3﹣1，合并同类项得，2x≥2，
系数化为 1 得，x≥1，
故答案为：x≥1.
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式的方法和步骤，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解本题的关键.
14.9
【分析】由 a＜ ＜b，可得出 a＝4、b＝5，将其代入 a+b 中即可求出结论.
【解答】∵42＝16，52＝25，a＜ ＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9.
故答案为：9.
【点评】本题考查估算无理数的大小，利用逼近法找出 a、b 的值是解题的关键.
15.k≤
【分析】利用不等式取解集的方法确定出 k 的范围即可.
【解答】不等式组整理得： ，由不等式组的解集为 x＜3k﹣3，得到 3k﹣3≤k，解得：k≤ ，
故答案为：k≤
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.11
【分析】根据题意可知 x＝y，只要把 x 用 y 代入（或把 y 用 x 代入）解出 y（或 x）的值，再代入 ax+（a﹣1）y＝3 中，即可解出 a 的值.
【解答】依题意得：x＝y
∴4x+3y＝4x+3x＝7x＝1
∴x＝ ＝y
∵ax+（a﹣1）y＝3 即 a+ （a﹣1）＝3
∴ a＝3+ ＝
∴a＝11
【点评】本题考查的是对二元一次方程组的解的计算，根据题意列出 x＝y，解出 x，y 的值，再在方程中代入 x，y 的值即可得出 a
17.【解答】原式＝0.3﹣2﹣ ＝﹣2.2
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.
18.【解答】解不等式①得：x≤﹣2，解不等式②得： ，
不等式①、②的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集是：x≤﹣2.
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
19.【解答】如图所示
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平行四边形 A′B′C′D′四个顶点的坐标分别是：A'（﹣4，0），
B'（0，0），C'（1，3），D'（﹣3，3）
【点评】本题考查平移变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会正确作图，属于中考常考题型.
20.【解答】依题意，得 由①，得 y＝7﹣2x.③
把③代入②，得 x+3（7﹣2x）＝11 解这个方程，得 x＝2.
把 x＝2 代入①，得 y＝3.
∴这个方程组的解是 .
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键.
21.【解答】（Ⅰ）10÷10%＝100；（Ⅱ）“15﹣20”部分有用户：100﹣（10+30+25+9）＝26，补全频数分布直方图如图所示.
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“25﹣30”部分对应的扇形圆心角的度数为： ；
（Ⅲ） ，
∴约有 13.2 万用户的用水全部享受基本价格.
【点评】本题考查了扇形统计图，频数分布直方图，频数、频率和总量的关系，求扇形圆心角，用样本估计总体.解题时注意：扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°.
22.【解答】（1）依题意得： 解得：a＝9；
（2）当累计购物不超过 50 元时，到两商场购物花费一样；当累计购物超过 50 元而不超过 100 元时，到乙商场购物花费少；
当累计购物超过 100 元时，设累计购物 x（x＞100）元，
则甲商场购物需：100+0.9（x﹣100）元，乙商场购物需：50+0.95
（x﹣50）元
①若 50+0.95（x﹣50）＝100+0.9（x﹣100）
解得：x＝150
当累计购物 150 元时，到两商场购物花费一样.
②若到甲商场购物花费少：50+0.95（x﹣50）＞100+0.9（x﹣
100） 解得：x＞150
即：累计购物超过 150 元时，到甲商场购物合算.
③若到乙商场购物花费少：50+0.95（x﹣50）＜100+0.9（x﹣
100） 解得：x＜150
即：累计购物超过 100 元不到 150 元时，到乙商场购物合算.
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，列出不等式，再根据实际情况分段进行讨论，不要漏项.
23.【解答】证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90°，（垂直定义）
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，（等角的余角相等）
∴DF∥AE.（内错角相等，两直线平行）
故答案为：CD⊥DA，DA⊥AB，垂直定义，∠3＝∠4，等角的余角相等，内错角相等，两直线平行.
【点评】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行. 24.【解答】（Ⅰ）解：∵DE∥OB，
∴∠ACE＝∠O，
∵∠O＝50°，
∴∠ACE＝50°；
（Ⅱ）证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG＝90°， ∴∠DCF+∠DCG＝90°，
又∵∠GCO+∠GCD+∠FCA+∠FCD＝180°（平角定义），
∴∠GCO+∠FCA＝90°，
∵CF 平分∠ACD，
∴∠FCA＝∠DCF，
∴∠GCO＝∠DCG（等角的余角相等），即 CG 平分∠OCD；
（Ⅲ）结论：当∠O＝60°时，CD 平分∠OCF，法 1：当∠O＝60°时，
∵DE∥OB，∴∠DCO＝∠O＝60°，
∴∠ACD＝120°，
又∵CF 平分∠ACD，∴∠DCF＝60°， ∴∠DCO＝∠DCF，即 CD 平分∠OCF；法二：若 CD 平分∠OCF，∴∠DCO＝∠DCF，
∵∠ACF＝∠DCF，∴∠ACF＝∠DCF＝∠DCO，
∵∠AOC＝180°，∴∠DCO＝60°，
∵DE∥OB，∴∠O＝∠DOC，
∴∠O＝60°.
【点评】此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.
25.【解答】（Ⅰ）点 P（﹣2，3）的“3 属派生点”P′的坐标为（﹣ 2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3），故答案为：（7，﹣3）；
（Ⅱ）设 P（x，y），
依题意，得方程组： ，解得 ，
∴点 P（﹣2，1）.
（Ⅲ）∵点 P（a，b）在 x 轴的正半轴上，
∴b＝0，a＞0.
∴点 P 的坐标为（a，0），点 P′的坐标为（a，ka），
∴线段 PP′的长为点 P′到 x 轴距离为|ka|，
∵P 在 x 轴正半轴，线段 OP 的长为 a，根据题意，有|PP'|＝2|OP|，
∴|ka|＝2a，
∵a＞0，
∴|k|＝2.
从而 k＝±2.
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键.
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（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。
然后把上面的结论带入式子，就是3（2+Y）=3Y+6，得2+Y=（3Y+6）*3，得2+Y=9Y+18，得2=8Y+18，得2—18=8Y，得—16=8Y得-2=Y；
已知Y=-2
带入X=2+Y，得X=0
得出X=0，Y=—2