lim(1+sinx)^csc2x 当x→0时的极限怎么求解？（求详细过程）

Question

如题所述

Answer 1

先求其对数的极限
ln(1+sinx)^csc2x
=cscxln(1+sinx)
=ln(1+sinx)/sin2x

lim(x-->0)ln(1+sinx)/sin2x (用罗比达）
=lim(x-->0)[cosx/(1+sinx)]/(2cos2x)
=[1/(1+0)]/(2×1)
=1/2
∴lim(x-->0)(1+sinx)^csc2x =√e追问

ln(1+sinx)^csc2x 怎么变成cscxIn(1+sinx)的？你是不是漏打一个2了
罗比达是什么。。。。后面都看不懂，答案是对了，麻烦你了

追答

过程中是丢了2，后来补回来了
变形根据：
对数运算法则：lnMⁿ=nlnM
cscα=1/sinα
∴ln(1+sinx)^csc2x
=csc2xln(1+sinx)
=1/sin2x*ln(1+sinx)
=ln(1+sinx)/sin2x

罗比达法则：
若x-->0，f(x)-->0,g(x)-->0
那么lim(x-->0)f(x)/g(x) （0/0型未定式）
=lim(x-->0) f'(x)/g'(x) （分子分母分别求导后的极限值和原来相等）

分子求导： [ln(1+sinx)]'=1/(1+sinx)*(1+sinx)'=cosx/(1+sinx)
分母求导：（sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x
然后求极限你应该会了吧

Answer 2

您好！这题要用到重要极限的变形。
原式= lim（1+sinx)^(1/(sinx*cosx))=lim（1+sinx)^(1/sinx)
而当x趋于0时，sinx也趋于0，有重要极限的变形可知:
原式=e
希望我的回答对您有用。