解析几何

Question

如题所述

Answer 1

设抛物线方程为 y^2=2px(p>0) ï¼Œåˆ™ F(p/2 ï¼Œ0) ï¼Œå‡†çº¿ L： x= -p/2 ï¼Œ

过 A、B åˆ†åˆ«ä½œå‡†çº¿ L çš„垂线，设垂足分别为 A1、B1 ï¼Œ

这里有许多结论，希望你自己证明：

1）E åœ¨ L ä¸Šï¼Œä¸” A1E=B1E ï¼›

2）AE、BE åˆ†åˆ«å¹³åˆ†âˆ  FAA1、∠FBB1 ï¼›

3）AE丄BE ï¼ŒEF丄AB；

4）△AFE≌△AA1E，△BFE≌△BB1E ï¼Œ

由射影定理可得，|EF|=√(ab) ã€‚

Answer 2

本题涉及“阿基米德三角形（抛物线中的弦与弦两端的切线长围成的三角形）”的一些重要性质：在抛物线中，过焦点弦两端的切线交于准线；以该焦点弦和两条切线长围成的三角形为直角三角形；两条切线的交点（直角顶点）到焦点的连线垂直于焦点弦。如果熟悉这些性质，本题可迅速获解。如果不熟悉，方法如下：

令抛物线为y^2=2px（p>0），A(x1,y1)，B(x2,y2)，
令直线AB：y=k(x-p/2)（k≠0。注意到，假定AB斜率存在，此时y1、y2≠0）
因切线AE：y1y=px+px1，kae=p/y1（I）
且切线BE：y2y=px+px2，kbe=p/y2（II）
则由（I）（II）消去y得点E横坐标x=(x1y2-x2y1)/(y1-y2)（*）
又点A、B在直线AB上，有
y1=k(x1-p/2)（III）
y2=k(x2-p/2)（IV）
则由（III）（IV）得x1y2-x2y1=kp(x2-x1)/2（**）
结合斜率公式k=(y1-y2)/x1-x2)
由（*）（**）得点E横坐标x=-p/2
再由（I）（II）相减得点E纵坐标y=p/k
所以点E(-p/2,p/k)

以下要证明两个结论
（1）kae*kbe=-1（即AE⊥BE）
（2）kef*k=-1（即EF⊥AB）

证明（1）：
因直线AB交抛物线，将直线方程代入抛物线方程有
k^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0
由韦达定理有x1x2=p^2/4（***）
再由（I）（II）易知y1y2=p^2/kae*kbe（****）
显然，因k≠0，yiy2<0
而点A、B在抛物线上，有
y1^2=2px1（V）
y2^2=2px2（VI）
则由（V）（VI）相乘得(y1y2)^2=4p^2x1x2（*****）
由(***)(****)(*****)得kae*kbe=-1

证明（2）：
直接由两点E(-p/2,p/k)、F(p/2,0)易知EF斜率为kef=-1/k
即kef*k=-1

有了上面的两个结论，由直角三角形相似或射影定理有
EF^2=AF*BF=ab
所以EF=√(ab)本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

E点在准线上，且EF垂直于AB。这两点都相当于定理了。
且[EF]^2=[FA]*[FB]=ab
[EF]=ab^1/2