在正方形ABCD中，F是点BC上一点，连接DF，过点D作DE⊥DF交BA延长线于E点，连接EF，于BD交于点M。角BEF的角

Question

平分线交BD于点G，过点G作GH⊥EF于H，过点D作DN⊥EF于N。求证：HG+DN=AD.

Answer 1

 

先证△EFD为等腰直角三角形，这一步你不会不会吧！推出DF＝√2DM，∠DFH＝45°；

作GP⊥AB于P，GQ⊥BC于Q，边GF；

由角平分线性质知GP＝GH，又正方形对角线BD平分∠ABC，则∠QBD＝45°，GQ＝GP＝GH，则又知GF平分∠QFH，∠QFG=∠GFH；

△BFG外角∠FGD＝∠FBD+∠BFH，∠GFD＝∠GFH+∠DFH，∠FBD＝∠DFH＝45°，∠BFH=∠GFH，得证∠FGD＝∠GFD，推出DF＝DG＝√2DM；

正方形PBQG中，PG＝HG，BG＝√2PG＝√2HG，

正方形ABCD中BD＝√2AD＝BG+DG＝√2HG+√2DM，化简得HG+DN=AD。

追问

怎样推出DF＝√2DM？

追答

图中右下角的E点应该是C点。先证△EDA≌FDC，推出ED＝DF，推出DF＝√2DN，过程中有几处DN错写成了DM，大晚上有些糊涂，惭愧，抱歉！

Answer 2

先做GI⊥AB，GY⊥DC交NF于点O交DF于点R,做FS⊥YI，连接GF
∵EG是∠BEF的角平分线，且GH⊥EF，GI⊥AB，∴GI=GH
再证出△DGY，△DEF是等腰直角三角形，再证明△BIG是等腰直角三角形，BG=BI=GH,∴GH=FS再证明△GMO≌△ORF，再证明△GRF≌△GMF
再证明△GDR≌DMF，之后，可以得到DG=GF，GM=RF，∴DM=DR，可以证明出△DRY≌DMN
∴DN=DY,∵△DGY是等腰直角三角形，DY=GY，∴GH+DN=GI+GY=AD