求未定式lim(x→0)[∫(0→x²)cos(t²)dt]/(xsinx)

Question

求未定式lim(x→0)[∫(0→x²)cos(t²)dt]/(xsinx)

说明下∫(0→x²)这是积分的上下限

这是书上的例题，书上说这个是0/0型未定式，用洛必达法则和变限积分的求导公式，有

lim(x→0)[∫(0→x²)cos(t²)dt]/(xsinx)
=lim(x→0)[2xcos(x^4)]/(sinx+xcosx)
=lim(x→0)cos(x^4)*2/[(sinx/x)+cosx]
=1*2/(1+1)
=1

=lim(x→0)[2xcos(x^4)]/(sinx+xcosx)这一步我实在是看不明白是怎么得来的，请指教

后面还说了另一种方法，说若用无穷销量等价替换定理，当x→0时，
sinx～x,则xsinx～x²,从而
lim(x→0)[∫(0→x²)cos(t²)dt]/(xsinx)
=lim(x→0)[∫(0→x²)cos(t²)dt]/x²
再用洛必达法则，计算可简单些
可是我也不知道这个怎么用洛必达法则

Answer 1

就用洛必达法则啊 ，直接求导，∫(0→x²)cos(t²)dt求导等于2xcos(x^4)，xsinx求导等于[(sinx/x)+cosx] ，就是答案了嘛

Answer 2

当x－>0时，极限式中的分子和分母都趋近于0，那么就可以利用洛必达法则，即为0/0式，此时可以分子分母同时求导，极限值不变。本回答被提问者采纳