定义：设 X 和 Y 是两个拓扑空间. 函数 f：X → Y 是连续的，如果对于 Y 中的每一个开子集 U，f-1(U) 是 X 中的开子集.
注意，函数的连续性不仅依赖于函数f本身，还依赖于X和Y上确定的拓扑.
定理：当Y是由基A给出时，证明f是连续的只需要证明A中任一元素的原像是开的就行了.读者可以自行验证.
函数的连续性例子：设X表示实数集在通常拓扑下，Y表示同一集合在下限拓扑下. 定义函数id(x)=x对每个实数x. 则id不是连续函数；逆像的开集为Y本身，这在Y中不是开集. 另一方面，逆函数id(x)=x是连续的，因为逆像的开集为自身，在X中是开集.
连续函数等价条件：定理18.1: 设X和Y是两个拓扑空间 , f:X → Y. 下列条件等价:
(1)f连续.
(2) 对于X的任意一个子集A, 有f(A)的逆像是A.
(3) 对于X的任意一个闭集C是Y中的一个闭集.
(4) 对于每一个x和Y的每一个邻域V, 存在X的一个邻域U使得f(U)⊆V. 对于X中的点x, 如果条件(4)成立, 则称f在点x连续.
定义：设X和Y是拓扑空间；
让f:X → Y是双射. 如果函数f和逆函数g:Y → X都是连续的, 那么f称为同胚.
同胚映射说明，一个同胚映射f不仅给出了X到Y的双射，还给出了X的开集族到Y的开集族的对应. 这时，任意一个完全只借助X的拓扑得出的Y的性质，通过f就可以推出空间Y的相应性质. 这种性质（即只依赖拓扑得出的性质）称为拓扑空间Y上的拓扑性质.
基本构造连续函数规则：定理18.2: 让X, Y和Z是拓扑空间.
(规则构造连续函数). (a) 常数函数：如果f将所有X映射到Y中的单点，则f连续.
(b) 包含：如果Y是X的子空间，包含函数i:Y → X是连续的.
(c) 合成：如果f和g都是连续的，那么映射gf是连续的.
(d) 限制域：如果f连续，如果Z是X的子空间，则限制函数f|Z是连续的.
(e) 限制或扩展范围：让f连续. 如果W是包含像集f(X)的X的子空间，则通过限制范围得到的函数f|W是连续的. 如果V有W作为子空间，通过扩展范围得到的函数g=f|V是连续的.
(f) 局部形式连续性：映射f在点x连续当且仅当f可以写为开集的并，对每个开集U，f在U上连续.
定理18.3：黏结引理（pasting lemma）设A和B是X中的闭集，并且f和g都是连续函数. 若对于任意x有f(x)=g(x)，则f和g可以组成一个连续函数h，定义为：当x属于A时，h(x)=f(x)；当x属于B时，h(x)=g(x).
证明：设A是X的一个闭集，根据集合论初等知识有
因为f连续，所以f(A)是Y的一个闭集. 类似地, g(A)是Y的一个闭集，从而也是X的一个闭集. 于是它们的并f(A)∪g(A)是X的一个闭集.
若A和B都是X的开集，这个定理仍然成立. 这正是“连续性的局部表示”法则（见前一个定理）的一个特例.
黏结引理需要注意两个点：A和B的公共部分必须保持函数值相等；A和B必须同为闭区间或者同为开区间. 为此我们给出一个例子来强调这个的重要性.
例子：函数f定义为
上式中f在每个“区间段”都是连续函数，并且它们在定义域的公共部分，即单点集{x0}上函数值相同. 由于两者的定义域都是闭集，所以f连续. 为了定义这种函数，就要求对于各个“区间段”来说，函数在其定义域的重合处相等. 例如下式
就不能定义一个函数. 另一方面, 对于集合A和B也要进行某些限制以保证函数的连续性, 例如下式
定义了从X到Y的一个函数, 它的两个部分虽然是连续的, 但是h却不是连续函数. 因为开集V的原像h(V)不是开集.
定理18.4：到积空间的映射（映射到产品）设f:X → Y1×Y2定义为
则f连续的充分必要条件是函数f1:X → Y1和f2:X → Y2都连续. 映射f1和f2称为Y1和Y2的坐标函数.
证明：设π1和π2分别是到第一个和第二个坐标空间上的投射. 它们是连续的. 这是因为若设U和V分别是Y1和Y2中的开集, 则π1(U)和π2(V)都是开集. 注意, 对于每一个x, π1和π2都是连续的. 若f是连续函数, 则f1和f2是连续函数的复合, 因而都是连续的. 反之, 设f1和f2连续, 我们证明: 对于X的拓扑的每一个基元素U×V, 其原像f-1(U×V)是开集. 点x在X中当且仅当x在U×V中, 也就是当且仅当x在U并且x在V. 因此f-1(U×V)由于U和V都是开集, 所以它们的交也是开的.
反过来，对于积空间的映射f:X → Y1×Y2，我们则没有一种常用的方法来判断其连续性. 有一种猜想是，如果f关于每个变量都连续，则f连续. 但可惜我们将发现他是错误的（见习题）.
（a）证明f在每个变量上都是连续的.
(b) 计算函数g定义为.
(c) 证明g不是连续的.