感谢这位朋友的回答,可是我的问题是:在扇环的内环处找到一个支点,使其平衡,就是说有固定的一个硬点,把扇环放上去,保持在第一象限平衡,通过实验,支点应该稍稍大于45度,麻烦你帮助我,谢谢你
追答1.说不清楚,画出图来;
2.怎么放?是不是平放?
设:扇环外环半径为R、内环半径为r,使扇环静止平衡的内环上的支点离y轴距离为L。
可以把扇环看成是质量均匀分布的薄片,若使扇环静止平衡,那么扇环对直线x=L的质量矩为0,即:
∫∫(D)(x-L)dxdy=0.........①
①式是一个二重积分,积分区域D为扇环所占区域。
采用极坐标,则x=ρcosθ,dxdy=ρdρdθ,ρ为极轴、θ为方向角;则①式变为:
∫∫(D)(ρcosθ-L)ρdρdθ
= ∫∫(D)(ρ^2)cosθdρdθ-L∫∫(D)ρdρdθ
=[∫(r→R)ρ^2dρ]*[∫(0→π/2)cosθdθ]-L[∫(r→R)ρdρ]*[∫(0→π/2)dθ]
=(1/3)(R^3-r^3)-L(1/2)(R^2-r^2)(π/2)
=0
所以:L=4(R^2+Rr+r^2)/[3π(R+r)]..........②;
②式即为支点离y轴距离。
讨论:
容易证明,当r≠0时,dL/dr>0,所以L是r增函数,所以:
当r=0时,L取最小值,即:L最小值=4R/(3π);
当r=R时,L取最大值,即:L最大值=2R/π;
若直线x=L和外环交点的方向角为B,则cosB=L/R,所以:4/(3π)≤cosB≤2/π,
所以:45°<B<65°。