求直角坐标系第一象限上90度扇环内环一支点，使扇环静止平衡。希望得到该过程和公式

Question

如题所述

Answer 1

设扇环外环半径为R、内环半径为r，则90°扇环的的面积为: (1/4)π(R^2-r^2)。可以把扇环看成质量均匀分布的薄片，那么能使扇环静止平衡的支点——质心即为扇环的形心；显然90°扇环的形心在其45°平分线上，设形心处的半径为b，则扇环对y轴(或x轴)的质量矩为: bcos45°(1/4)π(R^2-r^2)=∫∫(D)xdxdy①；该式右端为二重积分，积分区域为扇环；采用极坐标:x=ρcosθ，y=ρsinθ，dxdy=ρdρdθ，所以①式右端变为: ∫(r→R)ρ^2dρ∫(0→π/2)cosθdθ=(1/3)(R^3-r^3)，代入①式并整理得: b=4(√2)(R^2+Rr+r^2)/[3π(R+r)]②，②式即为扇环形心处的半径。追问

感谢这位朋友的回答，可是我的问题是：在扇环的内环处找到一个支点，使其平衡，就是说有固定的一个硬点，把扇环放上去，保持在第一象限平衡，通过实验，支点应该稍稍大于45度，麻烦你帮助我，谢谢你

追答

1.说不清楚，画出图来；
2.怎么放？是不是平放？

追问

就像这个图，这样平衡着，内环上有个支点，求这个支点的位置



追答

设：扇环外环半径为R、内环半径为r，使扇环静止平衡的内环上的支点离y轴距离为L。
可以把扇环看成是质量均匀分布的薄片，若使扇环静止平衡，那么扇环对直线x=L的质量矩为0，即：
∫∫(D)(x-L)dxdy=0.........①
①式是一个二重积分，积分区域D为扇环所占区域。
采用极坐标，则x=ρcosθ，dxdy=ρdρdθ，ρ为极轴、θ为方向角；则①式变为：
∫∫(D)(ρcosθ-L)ρdρdθ
= ∫∫(D)(ρ^2)cosθdρdθ-L∫∫(D)ρdρdθ
=[∫(r→R)ρ^2dρ]*[∫(0→π/2)cosθdθ]-L[∫(r→R)ρdρ]*[∫(0→π/2)dθ]
=(1/3)(R^3-r^3)-L(1/2)(R^2-r^2)(π/2)
=0
所以：L=4(R^2+Rr+r^2)/[3π(R+r)]..........②；
②式即为支点离y轴距离。
讨论：
容易证明，当r≠0时，dL/dr>0，所以L是r增函数，所以：
当r=0时，L取最小值，即：L最小值=4R/(3π)；
当r=R时，L取最大值，即：L最大值=2R/π；
若直线x=L和外环交点的方向角为B，则cosB=L/R，所以：4/(3π)≤cosB≤2/π，
所以：45°<B<65°。