导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
导数的几何意义 函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在P0[x
导数的几何意义
0,f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率).
导数在科学上的应用 导数与物理,几何,代数关系密切.在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度,加速度.
导数亦名纪数、微商(微分中的概念),是由速度变化问题和曲线的切线问题(矢量速度的方向)而抽象出来的数学概念.又称变化率.
如一辆汽车在10小时内走了 600千米,它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置s与时间t的关系为
s=f(t)
那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是
[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]
当 t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 .
自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 (如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度)
编辑本段导数是微积分中的重要概念 导数另一个定义:当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(derivative function),简称导数).
y=f(x)的导数有时也记作y',即(如右图) :
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度 二阶导数是加速度)、可以表示曲线在一点的斜率(矢量速度的方向)、还可以表示经济学中的边际和弹性。
以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面(比如切向量场)的变化,导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络,人们就可以研究大范围的几何问题,这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
注意:1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件,不是充要条件。
2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数,没有增减性,即没有极值点。但导数为零。(导数为零的点称之为驻点,如果驻点两侧的导数的符号相反,则该点为极值点,否则为一般的驻点,如y=x^3中f‘(0)=0,x=0的左右导数符号为正,该点为一般驻点。)
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