x是一随机变量，y=min(x,a)，证明Var(y)<Var(x)

Question

x是一随机变量，对应分布函数为F(x), y=min(x,a),a是一个常数且0<P(x>a)<1,求y的中位数并证明Var(y)<Var(x)

Answer 1

你好

Y的中位数是 X的中位数和a这两个数中较小的那个。 为了写起来方便，用m来表示X的中位数。原因是这样的：

如果m<a 那么 P(Y>=m)=P(X>=m)>=0.5 且P(Y<=m)=P(X<=m)>=0.5

如果m>a 那么 P(Y>=a)=P(X>=a)>=P(X>=m)>=0.5 且 P(Y<=a)=1>=0.5

根据中位数的定义 可以知道Y的中位数是 m和a中比较小的那个

关于V(Y)<V(X) 证明见下图。。可能有更简单的方法，不过我还没有想到，如果你见到了的话告诉我一声吧

这里的思路是：

把Y写成 Y=X-I(X>a)*(X-a) 这里I(X>a)是指示函数

把V(Y)展开为V(X)-2COV(X,I(X>a)*(X-a))+V(I(X>a)*(X-a)) 的形式

证明-2COV(X,I(X>a)*(X-a))+V(I(X>a)*(X-a))<=-COV(I(X>a)*(X-a),(X+a))<0

具体的步骤都写在图里了，有问题再问我吧，望采纳