第一部怎么做 考研概率论

Question

如题所述

Answer 1

那个 fi(希腊字母)(x) 给了
所以fi(y)=e^(-y^2/2)/根号(2π)
(同一个函数换一个变量而已，楼主应该不会不知道吧)

所以
f(x,y)=((1+sinxsiny)/2π)*e^((-x^2-y^2)/2)
(简单乘法，这不应该有问题吧)
fx(x)=∫(-无穷~+无穷) f(x,y) dy
=∫(-无穷~+无穷) ((1+sinxsiny)/2π)*e^((-x^2-y^2)/2)dy
∫(-无穷~+无穷) siny*e^(-y^2/2) dy=0 (因为奇函数的性质，两边积分抵消)
(这部分乘个什麼sinx*e^(-x^2/2)在 dy来说看做常数，所以乘上也是0)

所以
fx(x)=∫(-无穷~+无穷) (1/2π)*e^((-x^2-y^2)/2)dy
=e^(-x^2/2)/根号(2π) (全体实数x)

(标准正态分布积分，非要原理的话，私信我我教你伽马函数)

同理,由於对称性
fy(y)=e^(-y^2/2)/根号(2π) (全体实数y)

X,Y不独立，因为f(x,y)=fx(x)fy(y)是X,Y相互独立的充要条件

这里 fx(x)*fy(y) 不等於f(x,y)所以不独立

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题外话

有趣的是是，此处X,Y是不相关的
E(XY)=0 (因为xyf(x) 在1,3象限的总和,与 xyf(x,y)在 2,4象限的总和，加起来正好抵消，马鞍型函数)
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-0=0

不相关，仍然可以不独立

所以，说不相关->相互独立 ，是假命题

相互独立->不相关，是真命题
上一行的逆反命题 相关->不独立， 是真命题

不相关推独立
不独立推相关

而想证明两个随机变量不独立时，目前只能通过 证明 fx(x)*fy(y)不等於f(x,y)入手，这题标准模式本来还会问相关性的问题，这里就放你一马了，不过你怕不怕它考试出来作祟？？追问

谢谢，哈哈学明白了

你可以教我我问的另一个问题吗，标准型我看不懂T^T

追答

二题
1问方法和第一题一模一样，对所有y积分得fx(x),对所有x积分得fy(y)
fx(x)=2x [0,1]
=0 else
fy(u)=2y [0,1]
=0 else
所以独立

2问
F(x,y)里面由於y取2，超过了y密度不为0的范围
所以y方面完成积分
F(1/2,2)=Fx(1/2)=(1/2)^2=1/4

或∫(0~1/2)∫(0~1) 4xy dydx
=1^2*(1/2)^2
=1/4