数学问题

Question

一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜。已知驴一次性可驮1000根胡萝卜，但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜。问：商人最多可卖出多少胡萝卜？

注意那个“最”，要有证明的。
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Answer 1

先驼1000根萝卜前进x1公里放下1000-2*x1根后带走剩下的x1根返回；

然后驼1000根萝卜前进，至x1公里处取x1根萝卜，让驴子恰好驼1000根萝卜；继续前进至距起点x2公里处，放下1000-2*（x2-x1）根萝卜再返回，到x1公里处恰好把萝卜吃完，再取x1根萝卜返回起点；

最后驼走一千根萝卜，行至x1、x2处依次取走所有萝卜，再行至终点。

x1、x2处剩余的萝卜分别小于等于x1和（x2-x1），在这个不等式约束条件下，求得两处剩余萝卜的最大值即可，因为实际上两处剩余的萝卜个数就是最终能够到达终点的萝卜个数。最后求的x1=200，x2=1600/3。驴走过的总路程是2*x1+2*x2+1000=2466+2/3,按题意是走完一公里才吃一根萝卜，也就是吃掉的萝卜总数为里程数向下取整，为2466，所以最终剩下能卖掉的萝卜是3000-2466=534根了。

下面是用程序算出的结果
程序说明：

无论去返都消耗，以消耗最大来看！当运输3000时要往、返共计5倍路程，所以最初1000根消耗完应该在200公里处（最后一次往返也是有用的，如果吃的必须是1000以内的萝卜）；由此变为运输2000，往、返共计3倍路程，第二个1000根消耗在533公里处（严格此时此处有1001根来说是消耗了999根，最后一根这里不要了；这要看吃萝卜的限定了，结果可能差一根）；最后1000根萝卜从533公里处出发，因而最后剩533根萝卜，呵呵用程序求解其实多少有点浪费。

#include <iostream.h>
#include <math.h>

int main()
{
int i = 0; //循环变量
int s = 1000; //总里程
int n = 3000; //总萝卜数
for(i = 0; i < s; i++)
{
//计算要分几次搬运，是下取整。
int x = (int)ceil((double)n/1000);
//如果回去搬萝卜的代价比搬过来的萝卜数量大，说明没价值，不要返回去搬，扔了。
if(n % 1000 != 0 && n % 1000 <= x)
{
x -= 1;
}
//如果要回去多次搬运，则往返路程要计算好。两次搬运要走三次路。
if(x == 2)
{
x += 1;
}
//如果要回去多次搬运，则往返路程要计算好。三次搬运要走五次路。一次搬运当然就一次路就OK了。
else if(x == 3)
{
x += 2;
}
//让驴吃掉的萝卜。
n -= x;
}
cout << "商人最多可卖出的胡萝卜数量为：" << n << endl;

return 0;
}

得出结果：

商人最多可卖出的胡萝卜数量为：534
Press any key to continue

Answer 2

其实这个过程可以简化成三个阶段，第一个阶段是全部运到200米处，然后运到终点。。
我们设第一次运的距离是x（x<500），此时剩在此地的胡萝卜是1000-2x，第二次运的距离是y，且设y<=x（只是为了第三次运时，能停下来把第二次剩下的一起带走，其实带走第一次剩下的也是一样的，只是为了方便所以假设y《=x）,y《500，然后剩在此处的胡萝卜数是1000-2y；
第三次运到y处时剩余数量是1000-y，加上第二次的是2000-3y》1000，但是此时只能带走1000的。第二次的地与第一次相距（x-y），下面要讨论了：
1.当2000-3y-1000》2（x-y）时，第三处的总数量是3000-4x+y；
2.当2000-3y《2（x-y）时，骆驼就不会返回第二处去驼剩在那地的胡萝卜了，所以此时第三处的胡萝卜数量是2000-3x+y；
下面开始第三次运送：当总数量是3000-4x时，又因为3000-4x》1000，所以要两次才能运完，下面又要开始讨论：
1.当3000-4x+y-1000《2（1000-x）时，剩余量是1000-（1000-x）=x，此时可以解得x的最大值
2.当3000-4x+y-1000>2(1000-x)时，剩余量是1000-2x+y；
3.当2000-3x+y<2(1000-x)时，剩余量是1000-（1000-x）=x；
4.当2000-3x+y》2（1000—x），剩余量是y-x；
经过面四个讨论出来得到的结果的整数就是533，用线性规划求解，x，y《500，y《=x；是约束条件；不能再证明了，这个题本来有些都是需要用文字才能说清楚的。。。。 第一次当然是走到200公里。来回3次，放下2000根。第二次走到553+1/3公里处，放下334根，带上333根往回走。回到200公里时，驴子吃完这333根，但是它还多走了2/3公里，不过不到1公里是不需要喂的。这是再拿上剩下的1000根，走到553+1/3公里处时吃了333 根，同时多走了2/3公里，这时再往前走1/6公里，回来也是1/6公里，凑满1公里，吃掉1根。然后再拿上上次放下的334根，凑满1000根。最后带着这1000根从533+1/3公里往外走，剩下的路程是466+2/3公里，不过只需要吃466根就好了，到了如果驴子要是敢多要萝卜就卸磨杀驴。驴也不会在乎多走了2/3公里。所以剩下534根。本题其实是做一个整数游戏，重点就是这个“整数思维强迫症”。(这句话是错的,那驴还在乎那根了,一共只剩533根,唉...)

Answer 3

首先分析此题是比较愉快的，不能用常规思维去做的。。。运筹最优化，数学建模研究的
我们应该想到当驴进入沙漠一段时间后，是可以放下胡萝卜倒回来去驼另外一部分，并且根据实际来说那头驴返回时，是需要吃胡萝卜的
每走半公里放下返回一次，那样就能做到走一公里只需要一根胡萝卜，最后就剩1000根了。。
忘采纳啊，希望能帮助你。。。。

谢谢了追问

这种思考的方法很好。
只是驴子一次只能托1000根，这样不可避免的要回到出发点，那么路程就大于2000了，所以胡萝卜也就有2000根以上被吃掉了。

现在的问题是，如何使它走的路程最短？

追答

我被我那个朋友的悖论给迷糊了，走1公里要5根，楼上那个533是正确的，其实你可以设走x公里时，剩余胡萝卜数是2000，然后设y公里时，剩余是1000，因为不管怎么样，胡萝卜不能浪费，全部要吃完和带走，因为胡萝卜数2000和1000是个分界点，驼的次数不同，所以要讨论。。

追问

恩，不过这仍然只是方案，并没有证明

我可以把悬赏分换成RMB的

追答

好吧
其实这个过程可以简化成三个阶段，第一个阶段是全部运到200米处，然后运到终点。。
我们设第一次运的距离是x（x2(1000-x)时，剩余量是1000-2x+y；
3.当2000-3x+y<2(1000-x)时，剩余量是1000-（1000-x）=x；
4.当2000-3x+y》2（1000—x），剩余量是y-x；
经过面四个讨论出来得到的结果的整数就是533，用线性规划求解，x，y《500，y《=x；是约束条件；不能再证明了，这个题本来有些都是需要用文字才能说清楚的。。。。
有些东西本来就是不用证明的，就像你在用1+1=2时，难道你还要去证明么？？只要我们解出来就可以了。。。。现在一般的题都只是需要去解吧。。。

本回答被提问者采纳

Answer 4

此题纯粹为奥数例题，跟“商人杀不杀驴、赚钱几率多少以及驴吃胡萝卜而商人吃什么”根本无关，无非出题人举例罢了，如果你把胡萝卜换成香蕉、驴换成马、商人换成唐僧、出卖换成进贡，同样雷型！

三、此题解题关键是解题人必须领会“驴一次最多可驮1000根胡萝卜（或香蕉等其他什么），而我们必须让它充分发挥体力劳动”。

有朋友的孩子做过类似例题，但他一直有疑问：为什么驴必须驮1000根，而不是500根或1500根？经过解释，他对于不能驮1500根终于有了认识，但对于不能驮小于1000根的解释他始终觉得不满意；而且他询问数学老师，得到的答案是“答案让你这么做，你就该这么做”，更是让家长伤透脑筋。

对于我们来说，此种条件下，驴驮1000根才能发挥最大效益是常识，或者说理所当然的事，但是怎么样在理论上表述呢？确实是个不小的难题（除非一个一个验算）。

四、对于“驴一次最多可驮1000根胡萝卜”，本人通过计算，发现当某一分割点剩余量为n1000±1时，是可以接受的。下面我将1001的处理体会介绍一下：

类似3-2-1题型（不包括A点已经为999的情形），基本确定B点为533公里或多一点点以后，只要符合0≤{1-（B-533）×2}≤1，B点可以在此范围内任意分割，即533≤B≤533.5公里，等于0（即533.5公里）是最有说服力的分割点；除此以外的分割都属于同一类型分割法，有无穷多种，结果是都有零头需要抛弃，当然答案都正确，大家通过验算可以证明。以上解释只基于驴是“边走边吃”的前提，不包括驴“走一公里，然后吃一根胡萝卜”情形。

抛弃处理，似乎并不令人信服，但综合考虑，抛弃并不违背解题原则。

不过，作为奥数解题，做成这么复杂是很不现实的，它最终求的是过程严谨、简单，答案正确。所以我个人最后观点，认为“边走边吃”前提下，B点分割为533.5公里最恰当，容易被同学们更快地理解。

五、还有一个疑问：不管胡萝卜（等）起点总数是多少，我们在途中的分割点都是遵循“胡萝卜剩余量为…5000-4000-3000-2000-1000-终点根数x”的规律，即每一个分割点比前一个分割点都减少1000根，而为什么不是减少2000根呢（因为有人这么解题，当然答案是错误的）？

如此算来，如果起点总数为3000根（单位），则最终答案为400根（单位），显然不是最大值。

原因何在？如果按照 3-2-1-X计算，从3000变到1000时，前进路程为533.5公里（单位），如果按照3-1-X计算，从3000变到1000时，前进路程为400公里（单位），显然单位路程中后者比前者消耗能量更多，当然不是最佳解题途径。

再举个例子，起点总数以5000计，按照5-4-3-2-1-X计算，从5000变到3000时，前进路程为254公里（单位），如果按照5-3-2-1-X计算，从5000变到3000时，前进路程为222.5公里（单位），效率同前。

Answer 5

要卖出最多胡萝卜，也就是驴的共走过的路程要最短

第一步，当胡萝卜数大于2000时，路程必须来回三趟，第三趟不用回去，共走路程X，消耗胡萝卜1000根，X=1000/5，也就是走200公里，放下1000-(200*2)=600根，第二次1000-(200*2)=600根，第三次1000-200=800根，走了200公里，刚好共运到2000根

第二步，胡萝卜数大于1000时，路程必须来回二趟，第二趟不用回去，共走路程y，消耗胡萝卜1000根，1000/3不是整数，而胡萝卜必须整根搬运

第一种方法，y=333公里，留一根在路上，即在剩下的路程(1000-200-333=467)，共有1000根胡萝卜，能运到1000-467=533根

第二种方法，y=334公里，即在剩下的路程(1000-200-334=466)，共有998根胡萝卜，能运到998-466=532根

所以，最多可以运到533根