在圆柱坐标系中，证明：平面z=sinθ和r=a的相交曲线是一个椭圆

Question

如题所述

Answer 1

在交线上，r=a，y=rsinθ=asinθ，所以，z=sinθ=y/a，这是一个平面。而r=a表示的是圆柱面x^2+y^2=a^2。所以交线的方程是z=y/a，x^2+y^2=a^2，一个不平行于坐标面的平面截圆柱面得一椭圆。

Answer 2

r=a为半径是a的圆柱面，
化成直角坐标，
r^2=x^2+y^2,
x^2+y^2=a^2,（1）
z^2=(sinθ)^2,
1-z^2=1-(sinθ)^2=(cosθ)^2,
1/(1-z^2)=(secθ)^2,
1/(1-z^2)-1=z^2/(1-z^2)=(tanθ)^2,
z^2/(1-z^2)=y^2/x^2,
1/(1-z^2)=(x^2+y^2)/x^2,(合比），
由（1）式代入，
1/(1-z^2)=a^2/x^2,
x^2=a^2(1-z^2),
x^2/a^2+z^2=1,
相交曲线是由圆柱面x^2+y^2=a^2和椭圆柱面x^2/a^2+z^2=1相交而得，
θ=0,z=0时，x=a,y=0,在X轴上，
θ=π/2，z=1时，x=0,y=a,在Z轴上方，
θ=π，z=0时，x=-a,y=0,在X轴上
θ=3π/2，z=-1时，x=0,y=-a,在Z轴下方，
曲线所在平面和XOY平面成角为arctan(1/a),椭圆长半轴为√（1+a^2),短半轴为a。本回答被提问者和网友采纳