在直角座标系xoy中日长为根号2加1的线段的两端点的C、D分别在x轴y轴上滑...

Question

在直角座标系xoy中日长为根号2加1的线段的两端点的C、D分别在x轴y轴上滑动，向量cp等于根号2向量pD，记点p的轨迹为曲线E，求曲线e的方程，经过点(0，1)作直线L与曲线E相交于A、B两点，向量OM=向量OA+向量OB，当点M在曲线e上时，求四边形OAMB面积

Answer 1

分析： （Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．由
CP =
2
PD ，得（x-m，y）=
2 （-x，n-y），由|
CD |=
2 1，得m 2 n 2 =（
2 1） 2 ，由此能求出曲线E的方程．
（Ⅱ）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），由
OM =
OA
OB ，知点M坐标为（x 1 x 2 ，y 1 y 2 ）．设直线l的方程为y=kx 1．代入曲线E方程，得（k 2 2）x 2 2kx-1=0，由此能求出平行四边形OAMB的面积．解：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由
CP =
2
PD ，得（x-m，y）=
2 （-x，n-y），
∴
x-m=-
2 x
y=
2 (n-y) ．（2分）
由|
CD |=
2 1，得m 2 n 2 =（
2 1） 2 ，
∴（
2 1） 2 x 2
(
2 1 ) 2
2 y 2 =（
2 1） 2 ，
整理，得曲线E的方程为x 2
y 2
2 =1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），
由
OM =
OA
OB ，知点M坐标为（x 1 x 2 ，y 1 y 2 ）．
设直线l的方程为y=kx 1，代入曲线E方程，得
（k 2 2）x 2 2kx-1=0，
则x 1 x 2 =-
2k
k 2 2 ，x 1 x 2 =-
1
k 2 2 ，…（7分）
y 1 y 2 =k（x 1 x 2 ） 2=
4
k 2 2 ，
由点M在曲线E上，知（x 1 x 2 ） 2
( y 1 y 2 ) 2
2 =1，
即
4 k 2
( k 2 2 ) 2
8
( k 2 2 ) 2 =1 ，解得k 2 =2．…（9分）
这时|AB|=
1 k 2 | x 1 - x 2 | =
3( x 1 x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ] =
3
2
2 ，
原点到直线l的距离d=
1
1 k 2 =
3
3 ，
平行四边形OAMB的面积S=|AB|•d=
6
2 ．…（12分）

Answer 2

1、过点P(x，y)做PN垂直x轴于点N，过点P作PM垂直于y轴于M，设：∠PCN=∠DPM=w，则：
sinw=x/1，cosw=y/√2，则：
x²＋y²/2=1，此即为曲线e的方程。
2、设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则：
(x1)²＋(y1)²/2=1
(x2)²＋(y2)²/2=1
两式相减，得：2(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)=0，若M(m，n)，则x1＋x2=m，y1＋y2=n
得：[y1－y2]/[x1－x2]=－(2m/n)，此为直线AB的斜率。本回答被网友采纳