第1个回答 2009-02-13
海森堡模型
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海森堡模型是物理学中用来研究磁性系统的相变与临界点的一个统计力学的模型。其中磁性系统中的自旋必须应用量子力学。原始的易辛模型的一个 d 维晶格中( d 可以是1、2或3),每一个晶格点上有一个自旋<math>\sigma_i \in \{ \pm 1\}</math>表示一个微观的磁矩,而磁矩只可以是朝上或下的两个值。
由于量子力学的缘故,两个相邻的磁矩在同向或反向可得到最低的能量,在此假设下,系统的哈密顿算符可以写成
<math>\hat H = -J \sum_{j =1}^{N} \sigma_j \sigma_{j+1} - h \sum_{j =1}^{N} \sigma_j </math>
对一个 <math>N</math> 个晶格点的一维晶格,取周期边界条件 <math>\sigma_{N+1} = \sigma_1 </math> 。海森堡模型是比易辛模型更实际的模型,对自旋用量子力学来处理,把原本易辛模型中自旋用自旋算符(若自旋1/2即庖利矩阵)来表示,即考虑了自旋的 <math>x</math>、<math>y</math> 和 <math>z</math> 三个分量,各个分量的偶合强度分别为 <math>J_x</math>、<math>J_y</math> 和 <math>J_z</math>。这麽一来,一维海森堡模型的哈密顿算符就写成
<math>\hat H = -\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{N} (J_x \sigma_j^x \sigma_{j+1}^x + J_y \sigma_j^y \sigma_{j+1}^y + J_z \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z - h\sigma_j^{z}) </math>
其中 <math>h</math> 为外加磁场的大小,取周期边界条件,若自旋1/2则自旋矩阵为
<math>
\sigma^x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} </math>
<math>
\sigma^y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} </math>
<math>
\sigma^z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} </math> 哈密顿算符由张量积得出,维度为<math>2^N</math>。经由计算配分函数可以研究此系统的热力学性质。被广泛研究海森堡模型类型的模型是XXZ海森堡模型,也就是 <math>J = J_x = J_y \neq J_z = \Delta</math> 的情形。一维自旋-1/2的海森堡模型可利用Bethe ansatz严格求解。