在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动，移动到点D时停止．（1）如图1，

Question

在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动，移动到点D时停止．（1）如图1，若正方形的边长为12，点P的运动速度为2单位长度/秒，设t秒时，正方形ABCD与∠POD重叠部分的面积为y．①求当t=4，8，14时，y的值．②求y关于t的函数解析式．（2）如图2，若点Q从D出发沿D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止．P、Q两点同时出发，点P的速度大于点Q的速度．设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边缘及内部）重叠部分的面积为S，S与t的函数图象如图3所示．①P，Q两点在第______秒相遇；正方形ABCD的边长是______②点P的速度为______单位长度/秒；点Q的速度为______单位长度/秒．③当t为何值时，重叠部分面积S等于9？

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD的边长为12，∴S_{正方形ABCD}=12²=144．
∵O是AD的中点，∴OA=OD=6．
①（Ⅰ）当t=4时，如图1①．
∵AP=2×4=8，OA=6，
∴S_△OAP=

1

2

×AP×OA=24，
∴y=S_{正方形ABCD}-S_△OAP=144-24=120；
（Ⅱ）当t=8时，如图1②．
∵AB+BP=2×8=16，AB=12，
∴BP=4，∴CP=12-4=8，
∴y=

1

2

（OD+CP）×CD=

1

2

×（6+8）×12=84；
（Ⅲ）当t=14时，如图1③．
∵AB+BC+CP=2×14=28，AB=BC=CD=12，
∴DP=12×3-28=8，
∴y=S_△ODP=

1

2

×DP×OD=24；

②分三种情况：
（Ⅰ）当0≤t≤6时，点P在边AB上，如图1①．
∵AP=2t，OA=6，
∴S_△OAP=

1

2

×AP×6=6t，
∴y=S_{正方形ABCD}-S_△OAP=144-6t；
（Ⅱ）当6＜t≤12时，点P在边BC上，如图1②．
∵AB+BP=2t，AB=CD=12，
∴CP=24-2t，
∴y=

1

2

（OD+CP）×CD=

1

2

×（6+24-2t）×12=180-12t；
（Ⅲ）当12＜t≤18时，点P在边CD上，如图1③．
∵AB+BC+CP=2t，AB=BC=CD=12，
∴DP=36-2t，
∴y=S_△ODP=

1

2

×DP×OD=108-6t．
综上可知，y=

144?6t(0≤t≤6) 180?12t(6＜t≤12) 108?6t(12＜t≤18)

；

（2）①∵t=0时，S=S_{正方形ABCD}=16，
∴正方形ABCD的边长=4．
∵t=4时，S=0，
∴P，Q两点在第4秒相遇；
②∵S与t的函数图象由5段组成，
∴P，Q相遇于C点，
∵时间相同时，速度之比等于路程之比，而点P运动的路程=点Q运动的路程的2倍，
∴点P的速度=点Q的速度的2倍．
设点Q的速度为a单位长度/秒，则点P的速度为2a单位长度/秒．
∵t=4时，P，Q相遇于C点，正方形ABCD的边长为4，
∴4（a+2a）=4×3，
∴a=1．
故点P的速度为2单位长度/秒，点Q的速度为1单位长度/秒；

③∵正方形ABCD的边长为4，∴S_{正方形ABCD}=16．
∵O是AD的中点，∴OA=OD=2．
设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边缘及内部）重叠部分的面积S等于9．
分五种情况进行讨论：
（Ⅰ）当0≤t≤2时，点P在边AB上，点Q在边CD上，如图2①．
∵AP=2t，DQ=t，OA=OD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△OAP-S_△ODQ=16-2t-t=16-3t，
∴16-3t=9，
解得t=

7

3

（不合题意，舍去）；
（Ⅱ）当2＜t≤4时，点P在边BC上，点Q在边CD上，如图2②．
∵AB+BP=2t，AB=4，∴BP=2t-4，
∵DQ=t，OA=OD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_梯形OABP-S_△ODQ=16-

1

2

×（2t-4+2）×4-

1

2

×2t=20-5t，
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Answer 2

解：（1）∵正方形ABCD的边长为12，∴S正方形ABCD=122=144．

∵O是AD的中点，∴OA=OD=6．

①（Ⅰ）当t=4时，如图1①．

∵AP=2×4=8，OA=6，

∴S△OAP=

1 

2 

×AP×OA=24，

∴y=S正方形ABCD-S△OAP=144-24=120；

（Ⅱ）当t=8时，如图1②．

∵AB+BP=2×8=16，AB=12，

∴BP=4，∴CP=12-4=8，

∴y=

1 

2 

（OD+CP）×CD=

1 

2 

×（6+8）×12=84；

（Ⅲ）当t=14时，如图1③．

∵AB+BC+CP=2×14=28，AB=BC=CD=12，

∴DP=12×3-28=8，

∴y=S△ODP=

1 

2 

×DP×OD=24；

②分三种情况：

（Ⅰ）当0≤t≤6时，点P在边AB上，如图1①．

∵AP=2t，OA=6，

∴S△OAP=

1 

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×AP×6=6t，

∴y=S正方形ABCD-S△OAP=144-6t；

（Ⅱ）当6＜t≤12时，点P在边BC上，如图1②．

∵AB+BP=2t，AB=CD=12，

∴CP=24-2t，

∴y=

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（OD+CP）×CD=

1 

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×（6+24-2t）×12=180-12t；

（Ⅲ）当12＜t≤18时，点P在边CD上，如图1③．

∵AB+BC+CP=2t，AB=BC=CD=12，

∴DP=36-2t，

∴y=S△ODP=

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2 

×DP×OD=108-6t．

综上可知，y=

144?6t(0≤t≤6) 

180?12t(6＜t≤12) 

108?6t(12＜t≤18) 

；

（2）①∵t=0时，S=S正方形ABCD=16，

∴正方形ABCD的边长=4．

∵t=4时，S=0，

∴P，Q两点在第4秒相遇；

②∵S与t的函数图象由5段组成，

∴P，Q相遇于C点，

∵时间相同时，速度之比等于路程之比，而点P运动的路程=点Q运动的路程的2倍，

∴点P的速度=点Q的速度的2倍．

设点Q的速度为a单位长度/秒，则点P的速度为2a单位长度/秒．

∵t=4时，P，Q相遇于C点，正方形ABCD的边长为4，

∴4（a+2a）=4×3，

∴a=1．

故点P的速度为2单位长度/秒，点Q的速度为1单位长度/秒；

③∵正方形ABCD的边长为4，∴S正方形ABCD=16．

∵O是AD的中点，∴OA=OD=2．

设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边缘及内部）重叠部分的面积S等于9．

分五种情况进行讨论：

（Ⅰ）当0≤t≤2时，点P在边AB上，点Q在边CD上，如图2①．

∵AP=2t，DQ=t，OA=OD=2，

∴S=S正方形ABCD-S△OAP-S△ODQ=16-2t-t=16-3t，

∴16-3t=9，

解得t=

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3 

（不合题意，舍去）；

（Ⅱ）当2＜t≤4时，点P在边BC上，点Q在边CD上，如图2②．

∵AB+BP=2t，AB=4，∴BP=2t-4，

∵DQ=t，OA=OD=2，

∴S=S正方形ABCD-S梯形OABP-S△ODQ=16-

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×（2t-4+2）×4-

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2 

×2t=20-5t，