大一高数定积分的换元法 在照片中用框框划出来的部分不懂 就是不知道为什么可以从框框中的第二步推到第

Question

大一高数定积分的换元法 在照片中用框框划出来的部分不懂 就是不知道为什么可以从框框中的第二步推到第三步 求大神指导

Answer 1

这要用到一个简单的结论，即
若f(x)为奇函数，则在对称[-a,a]区间上，f(x)的积分为0
即 ∫<-a,a>f(x)dx=0
若f(x)为偶函数，则在对称[-a,a]区间上，f(x)的积分加倍
即 ∫<-a,a>f(x)dx=2∫<0,a>f(x)dx
在你的例题中，tanu是奇函数
而第二步的积分区间为对称区间[-π/3,π/3]
∴有∫<-π/3,π/3>3√3/2*tanudu=0
而3/4*tan²u+9/4为偶函数，故有
∫<-π/3,π/3>(3/4*tan²u+9/4)du=2∫<0,π/3>(3/4*tan²u+9/4)du
所以偶函数积分前面会多一个常数2，而奇函数积分为0
最前面的常数8/(3√3)就是外面的常数计算结果
这个你应该会算了

Answer 2

在关于原点对称的区间上，奇函数部分的积分值为0；偶函数部分的积分等于一半区间上积分值的2倍。